Questão 4. Resolva os PVIs:
a. y'' + y' - 2y = 2x ; y(0) = 0 ; y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Precisamos achar a solução geral dessa equação que também satisfaz as condições iniciais dadas: e . Para isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Assumindo uma forma para , como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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