Questão 4. Resolva os PVIs:
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Precisamos achar a solução geral dessa equação que também satisfaz as condições iniciais dadas:
e
. Para isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Assumindo uma forma para
, como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Aplicando
:
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: