Questão 4. Resolva os PVIs:
b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é e as condições são e . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral somando a solução homogênea com a particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla , a solução homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observamos que o lado direito tem dois termos: e .
Para , como já está na solução homogênea, multiplicamos por para não duplicar soluções. Então, assumimos:
Para o termo constante , assumimos uma solução particular constante:
Então, a solução particular completa é:

Passo 4

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:
Após substituir e simplificar, obtemos:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:

Passo 6

Com os valores encontrados, a solução particular fica:
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para , primeiro calculamos a derivada de :
Aplicando :
Substituindo :

Resposta

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