Questão 4. Resolva os PVIs:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é
e as condições são
e
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral somando a solução homogênea com a particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observamos que o lado direito tem dois termos:
e
.
Para
, como
já está na solução homogênea, multiplicamos por
para não duplicar soluções. Então, assumimos:
Para o termo constante
, assumimos uma solução particular constante:
Então, a solução particular completa é:
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Após substituir e simplificar, obtemos:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:
Passo 6
Com os valores encontrados, a solução particular fica:
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
, primeiro calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Substituindo
: