Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por
A gente precisa encontrar uma base para a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que pode produzir. Além disso, queremos saber qual é a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem de uma transformação linear, vetores e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em tais que existe um vetor em para o qual . Basicamente, é tudo o que a transformação consegue “alcancar”.
Passo 3
Para encontrar uma base para , vamos encontrar os vetores imagem correspondentes às colunas da matriz associada a . A matriz de é:
Os vetores coluna dessa matriz são:
Esses vetores geram a imagem de .
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formarão uma base para det 1 & -2 & 1 -3 & 1 & -1 2 & -1 & 0 . Para isso, vamos montar uma matriz com eles como colunas e calcular o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Já que os três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para . Porém, como estamos trabalhando em , a imagem não pode ter dimensão maior que 3. Vamos verificar a dimensão:
Passo 6
A dimensão da imagem de é o número de vetores na base. Como temos três vetores linearmente independentes, a dimensão é 3.