Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-2 y+z,-3 x+y-z, 2 x-y)
Encontre uma base para a Im(T) ? Qual a dimensão da Im(T) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T(x, y, z) = (x - 2y + z, -3x + y - z, 2x - y) definida por
A gente precisa encontrar uma base para a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que pode produzir. Além disso, queremos saber qual é a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem de uma transformação linear, vetores e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em tais que existe um vetor em para o qual . Basicamente, é tudo o que a transformação consegue “alcancar”.

Passo 3

Para encontrar uma base para A = 1 & -2 & 1 -3 & 1 & -1 2 & -1 & 0 , vamos encontrar os vetores imagem correspondentes às colunas da matriz associada a v1 = 1 -3 2 , v2 = -2 1 -1 , v3 = 1 -1 0 . A matriz de é:
Os vetores coluna dessa matriz são:
Esses vetores geram a imagem de .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formarão uma base para det 1 & -2 & 1 -3 & 1 & -1 2 & -1 & 0 . Para isso, vamos montar uma matriz com eles como colunas e calcular o determinante:
1 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) - (-2) cdot (-3 cdot 0 - 2 cdot (-1)) + 1 cdot (-3 cdot (-1) - 1 cdot 2)
Calculando o determinante:
= 1 cdot (0 - 1) - (-2) cdot (0 + 2) + 1 cdot (3 - 2)
= -1 + 4 + 1 = 4
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Já que os três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para . Porém, como estamos trabalhando em , a imagem não pode ter dimensão maior que 3. Vamos verificar a dimensão:

Passo 6

A dimensão da imagem de é o número de vetores na base. Como temos três vetores linearmente independentes, a dimensão é 3.

Resposta

Uma base para 1 -3 2 , -2 1 -1 , 1 -1 0 é
E a dimensão de é 3.

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