Questão 3. (2,0 ponto) Calcule as seguintes integrais:
b) integral 1(3 x-5)^8 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve o conteúdo de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que simplifica a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir . Quando fazemos essa substituição, precisamos também ajustar o diferencial .

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx Rightarrow dx = du3 em relação a integral 1u^8 cdot du3 = 13 integral u^-8 , du para encontrar :
Então, substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde (n neq -1)) . A regra básica de integração para integral u^-8 , du = u^-7-7 + C = -17u^7 + C é:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Voltando à nossa integral com o fator 13 cdot (-17u^7) + C = -121u^7 + C :
-121(3x - 5)^7 + C
Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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