Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função
g) ( 0,7 pontos) Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos de gráficos de funções polinomiais, como encontrar interceptos, derivadas para achar máximos e mínimos, e analisar como a função se comporta quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o intercepto y, que é o ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto y é o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos x, ou seja, os valores de que fazem . Temos a equação:
Vamos tentar fatorar:
Então, as raízes são (com multiplicidade 2) e . Portanto, os interceptos x são e .

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de é:
Vamos resolver :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, e . Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 5

Vamos determinar se cada ponto crítico é máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Para simplificar, vamos observar que:
  • Em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
  • Em , a função toca o eixo x e volta a crescer, indicando um mínimo local.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento assintótico, ou seja, como a função se comporta quando vai para ou . Para funções polinomiais, o termo de maior grau domina:
  • Quando , .
  • Quando , .
Isso significa que o gráfico sobe à direita e desce à esquerda.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Ponto de intercepto y em .
  • Interceptos x em e .
  • Máximo local próximo a .
  • Mínimo local em .
  • Comportamento assintótico subindo à direita e descendo à esquerda.

Resposta

O gráfico de possui interceptos em e , um intercepto y em , um máximo local próximo a e um mínimo local em . O gráfico sobe à direita e desce à esquerda, formando uma curva característica de um polinômio de terceiro grau.

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b) .
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b)
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