Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função
g) ( 0,7 pontos) Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
.
g) ( 0,7 pontos) Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos de gráficos de funções polinomiais, como encontrar interceptos, derivadas para achar máximos e mínimos, e analisar como a função se comporta quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o intercepto y, que é o ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto y é o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos x, ou seja, os valores de
que fazem
. Temos a equação:
Vamos tentar fatorar:
Então, as raízes são
(com multiplicidade 2) e
. Portanto, os interceptos x são
e
.
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de
é:
Vamos resolver
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
e
. Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 5
Vamos determinar se cada ponto crítico é máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Para simplificar, vamos observar que:
- Em
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. - Em
, a função toca o eixo x e volta a crescer, indicando um mínimo local.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento assintótico, ou seja, como a função se comporta quando
vai para
ou
. Para funções polinomiais, o termo de maior grau domina:
- Quando
, . - Quando
, .
Isso significa que o gráfico sobe à direita e desce à esquerda.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Ponto de intercepto y em
. - Interceptos x em
e . - Máximo local próximo a
. - Mínimo local em
. - Comportamento assintótico subindo à direita e descendo à esquerda.
Resposta
O gráfico de
possui interceptos em
e
, um intercepto y em
, um máximo local próximo a
e um mínimo local em
. O gráfico sobe à direita e desce à esquerda, formando uma curva característica de um polinômio de terceiro grau.
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