Questão 3. (2,0 ponto) Calcule as seguintes integrais:
a) integral(x^2+7 x-5) cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral(x^2+7 x-5) cos (2 x) , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = x^2 + 7x - 5 e dv = cos(2x) , dx e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que facilita a derivação e como a parte que é fácil de integrar.
Vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = (2x + 7) , dx e v = integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (x^2 + 7x - 5) cos(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (x^2 + 7x - 5) cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot (2x + 7) , dx
Simplificando:
= (x^2 + 7x - 5)sin(2x)2 - 12 integral (2x + 7) sin(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral:
integral (2x + 7) sin(2x) , dx
Vamos usar novamente a integração por partes para essa integral. Escolhemos:
u = 2x + 7 e dv = sin(2x) , dx

Passo 6

Encontrando du = 2 , dx e v = integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2 dessa vez:
Derivando :
Integrando :

Passo 7

Aplicando a integração por partes novamente:
integral (2x + 7) sin(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= (2x + 7) cdot (-cos(2x)2) - integral (-cos(2x)2) cdot 2 , dx
Simplificando:
= -(2x + 7)cos(2x)2 + integral cos(2x) , dx
A integral restante é simples:
integral cos(2x) , dx = sin(2x)2
Então:
= -(2x + 7)cos(2x)2 + sin(2x)2

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
(x^2 + 7x - 5)sin(2x)2 - 12 [ -(2x + 7)cos(2x)2 + sin(2x)2 ]
Simplificando:
= (x^2 + 7x - 5)sin(2x)2 + (2x + 7)cos(2x)4 - sin(2x)4
Podemos combinar os termos com = (x^2 + 7x - 5)sin(2x)2 - sin(2x)4 + (2x + 7)cos(2x)4 :

Passo 9

Finalmente, podemos fatorar e simplificar a expressão:
= 2(x^2 + 7x - 5)sin(2x) - sin(2x) + (2x + 7)cos(2x)4
Mas para deixar mais organizado, podemos escrever assim:
= (x^2 + 7x - 5)sin(2x)2 - sin(2x)4 + (2x + 7)cos(2x)4 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
(x^2 + 7x - 5)sin(2x)2 - sin(2x)4 + (2x + 7)cos(2x)4 + C

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