Questão 3. (2,0 ponto) Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que facilita a derivação e
como a parte que é fácil de integrar.
Vamos deixar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral:
Vamos usar novamente a integração por partes para essa integral. Escolhemos:
Passo 6
Encontrando
e
dessa vez:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
A integral restante é simples:
Então:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Podemos combinar os termos com
:
Passo 9
Finalmente, podemos fatorar e simplificar a expressão:
Mas para deixar mais organizado, podemos escrever assim:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função
e) pontos
Estude a concavidade de f.
e)
Questão 3. (2,0 ponto) Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Questão 2. (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) .
a)
Usando o limite fundamental
. Calcule os seguintes limites: