Questão 3. (2,0 ponto) Calcule as seguintes integrais:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que facilita a derivação e como a parte que é fácil de integrar.
Vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral:
Vamos usar novamente a integração por partes para essa integral. Escolhemos:

Passo 6

Encontrando e dessa vez:
Derivando :
Integrando :

Passo 7

Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
A integral restante é simples:
Então:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Podemos combinar os termos com :

Passo 9

Finalmente, podemos fatorar e simplificar a expressão:
Mas para deixar mais organizado, podemos escrever assim:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função
e) pontos Estude a concavidade de f.
Questão 3. (2,0 ponto) Calcule as seguintes integrais:
b)
Questão 2. (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) .
Usando o limite fundamental . Calcule os seguintes limites: