Questão #6: (1,0 ponto) Um feixe de microondas com frequência angular passa por três janelas estreitas coplanares que permitem a passagem de radiação com uma amplitude do vetor campo elétrico em cada uma delas. O centro de cada janela está a uma distância da sua vizinha imediata.
Utilizando a análise por fasores, mostre que o módulo quadrático médio do vetor de Poynting da radiação que emerge do plano das janelas em função da direção angular é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem um feixe de microondas com frequência angular que passa por três janelas bem fininhas, todas no mesmo plano. Cada janela deixa passar a radiação com uma amplitude do campo elétrico , e cada janela está a uma distância da próxima. A tarefa é usar a análise por fasores pra mostrar que o módulo quadrático médio do vetor de Poynting, que representa a intensidade da radiação que sai das janelas, depende do ângulo conforme a fórmula dada:
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre fasores, interferência de ondas e como calcular o vetor de Poynting.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor de Poynting. Ele representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
onde é o campo elétrico e é o campo magnético. A intensidade da radiação, que é o módulo do vetor de Poynting, vai nos dar a energia que passa por unidade de área por unidade de tempo.
Passo 3
Agora, vamos considerar que cada janela emite uma onda eletromagnética. Como são três janelas, vamos ter três ondas interferindo. Usando a análise por fasores, podemos representar cada campo elétrico emitido por cada janela como vetores rotatórios no plano complexo. A diferença de fase entre as ondas vem das diferenças de caminho que elas percorrem até o ponto de observação.
Passo 4
Vamos supor que a primeira janela está no ponto de referência, então o campo elétrico dela é simplesmente:
A segunda janela está a uma distância da primeira, então a onda emitida por ela terá um atraso de fase devido a essa distância. A diferença de fase é:
Então, o campo elétrico da segunda janela é:
Similarmente, para a terceira janela, que está a da primeira (já que está a da segunda), o campo elétrico é:
Passo 5
A intensidade total no ponto de observação é proporcional ao módulo quadrático da soma dos campos elétricos. Então, somamos os fasores:
Para encontrar a intensidade, calculamos o módulo ao quadrado:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
1 + e^jDe
O módulo disso é:
|1 + e^jDe
Então, a intensidade fica:
I(theta) = Im [1 + 2cos (2pi d sin thetalambda)]^2
onde Im é a intensidade máxima, proporcional a E0^2.
Resposta
Portanto, mostramos que o módulo quadrático médio do vetor de Poynting da radiação que emerge do plano das janelas em função do ângulo theta é dado por:
I(theta) = Im[1 + 2 cos (2 pi d sin thetalambda)]^2