Questão #6: (1,0 ponto) Um feixe de microondas com frequência angular omega=2 pi f passa por três janelas estreitas coplanares que permitem a passagem de radiação com uma amplitude do vetor campo elétrico E0 em cada uma delas. O centro de cada janela está a uma distância d da sua vizinha imediata.
Utilizando a análise por fasores, mostre que o módulo quadrático médio do vetor de Poynting da radiação que emerge do plano das janelas em função da direção angular theta é dada por:
I(theta)=Im[1+2 cos (2 pi d sen thetalambda)]^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem um feixe de microondas com frequência angular omega = 2pi f que passa por três janelas bem fininhas, todas no mesmo plano. Cada janela deixa passar a radiação com uma amplitude do campo elétrico E0, e cada janela está a uma distância d da próxima. A tarefa é usar a análise por fasores pra mostrar que o módulo quadrático médio do vetor de Poynting, que representa a intensidade da radiação que sai das janelas, depende do ângulo theta conforme a fórmula dada:
I(theta) = Im[1 + 2 cos (2 pi d sin thetalambda)]^2
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre fasores, interferência de ondas e como calcular o vetor de Poynting.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor de Poynting. Ele representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
S = 1mu0 E times B
onde E é o campo elétrico e B é o campo magnético. A intensidade da radiação, que é o módulo do vetor de Poynting, vai nos dar a energia que passa por unidade de área por unidade de tempo.

Passo 3

Agora, vamos considerar que cada janela emite uma onda eletromagnética. Como são três janelas, vamos ter três ondas interferindo. Usando a análise por fasores, podemos representar cada campo elétrico emitido por cada janela como vetores rotatórios no plano complexo. A diferença de fase entre as ondas vem das diferenças de caminho que elas percorrem até o ponto de observação.

Passo 4

Vamos supor que a primeira janela está no ponto de referência, então o campo elétrico dela é simplesmente:
E1 = E0 e^j0 = E0
A segunda janela está a uma distância d da primeira, então a onda emitida por ela terá um atraso de fase devido a essa distância. A diferença de fase é:
De
Então, o campo elétrico da segunda janela é:
E2 = E0 e^jDe
Similarmente, para a terceira janela, que está a 2d da primeira (já que está a d da segunda), o campo elétrico é:
E3 = E0 e^j2De

Passo 5

A intensidade total no ponto de observação é proporcional ao módulo quadrático da soma dos campos elétricos. Então, somamos os fasores:
Etotal = E1 + E2 + E3 = E0 (1 + e^jDe
Para encontrar a intensidade, calculamos o módulo ao quadrado:
I(theta) propto |Etotal|^2 = E0^2 |1 + e^jDe

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
1 + e^jDe
O módulo disso é:
|1 + e^jDe
Então, a intensidade fica:
I(theta) = Im [1 + 2cos (2pi d sin thetalambda)]^2
onde Im é a intensidade máxima, proporcional a E0^2.

Resposta

Portanto, mostramos que o módulo quadrático médio do vetor de Poynting da radiação que emerge do plano das janelas em função do ângulo theta é dado por:
I(theta) = Im[1 + 2 cos (2 pi d sin thetalambda)]^2

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