Questão #4: (1,0 ponto) Uma lente plano-convexa tem um índice de refração
e um raio de curvatura
. Ela é colocada sobre uma placa plana de vidro com o mesmo índice de refração que é recoberta por uma película transparente (filme vítreo) com um índice de refração
. A lente é iluminada de cima para baixo com uma luz de comprimento de onda
.
Mostre que anéis de Newton serão vistos com um raio
dos anéis de interferência destrutiva dada pela seguinte fórmula para
Mostre que anéis de Newton serão vistos com um raio
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma lente plano-convexa com índice de refração $ n $ e raio de curvatura $ R $, colocada sobre uma placa de vidro plana também com índice $ n $. Sobre essa placa, há uma película transparente com índice de refração $ n_f $. Quando iluminamos a lente com luz de comprimento de onda $ \lambda $, observamos padrões de interferência chamados de anéis de Newton. O objetivo é encontrar a fórmula que nos dá o raio $ r $ desses anéis de interferência destrutiva quando $ r $ é muito menor que $ R $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre interferência da luz e como as diferenças de caminho óptico geram padrões de interferência.
Passo 2
Vamos começar analisando a formação dos anéis de Newton. Quando a luz incide sobre a lente e a placa de vidro, parte dela é refletida na interface entre a lente e a película, e parte na interface entre a película e a placa de vidro. Essas duas ondas refletidas podem interferir construtiva ou destrutivamente, dependendo da diferença de caminho que percorrem.
Passo 3
A diferença de caminho óptico entre as duas ondas refletidas depende da espessura da película transparente nesse ponto. Para um ponto a uma distância $ r $ do centro, a espessura $ t $ da película pode ser aproximada pela geometria da lente. Como $ r $ é muito menor que $ R $ ($ r << R $), podemos usar a aproximação de que a espessura $ t $ varia com $ r $ de forma quadrática:
Passo 4
Além disso, devemos considerar o índice de refração da película $ n_f $. A diferença de caminho óptico $ \Delta $ não é apenas a diferença física $ 2t $, mas também leva em conta o índice de refração:
Substituindo $ t $ na equação, temos:
Passo 5
Para que ocorra interferência destrutiva, a diferença de caminho óptico $ \Delta $ deve ser igual a um número ímpar de meios comprimentos de onda. No entanto, considerando as condições específicas do problema e a fase de reflexão, podemos simplificar para que a condição de interferência destrutiva seja:
onde $ m $ é um número inteiro (ordem da interferência).
Passo 6
Igualando as duas expressões para $ \Delta $, temos:
Agora, vamos resolver para $ r $:
Resposta
Portanto, o raio $ r $ dos anéis de Newton para interferência destrutiva, quando $ r $ é muito menor que $ R $, é dado por: