Questão #4: (1,0 ponto) Uma lente plano-convexa tem um índice de refração n e um raio de curvatura R. Ela é colocada sobre uma placa plana de vidro com o mesmo índice de refração que é recoberta por uma película transparente (filme vítreo) com um índice de refração nf. A lente é iluminada de cima para baixo com uma luz de comprimento de onda lambda.
Mostre que anéis de Newton serão vistos com um raio r dos anéis de interferência destrutiva dada pela seguinte fórmula para r<
r simeq raizR lambda mnf m= inteiro

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma lente plano-convexa com índice de refração $ n $ e raio de curvatura $ R $, colocada sobre uma placa de vidro plana também com índice $ n $. Sobre essa placa, há uma película transparente com índice de refração $ n_f $. Quando iluminamos a lente com luz de comprimento de onda $ \lambda $, observamos padrões de interferência chamados de anéis de Newton. O objetivo é encontrar a fórmula que nos dá o raio $ r $ desses anéis de interferência destrutiva quando $ r $ é muito menor que $ R $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre interferência da luz e como as diferenças de caminho óptico geram padrões de interferência.

Passo 2

Vamos começar analisando a formação dos anéis de Newton. Quando a luz incide sobre a lente e a placa de vidro, parte dela é refletida na interface entre a lente e a película, e parte na interface entre a película e a placa de vidro. Essas duas ondas refletidas podem interferir construtiva ou destrutivamente, dependendo da diferença de caminho que percorrem.

Passo 3

A diferença de caminho óptico entre as duas ondas refletidas depende da espessura da película transparente nesse ponto. Para um ponto a uma distância $ r $ do centro, a espessura $ t $ da película pode ser aproximada pela geometria da lente. Como $ r $ é muito menor que $ R $ ($ r << R $), podemos usar a aproximação de que a espessura $ t $ varia com $ r $ de forma quadrática:
r

Passo 4

Além disso, devemos considerar o índice de refração da película $ n_f $. A diferença de caminho óptico $ \Delta $ não é apenas a diferença física $ 2t $, mas também leva em conta o índice de refração:
nf
Substituindo $ t $ na equação, temos:
De

Passo 5

Para que ocorra interferência destrutiva, a diferença de caminho óptico $ \Delta $ deve ser igual a um número ímpar de meios comprimentos de onda. No entanto, considerando as condições específicas do problema e a fase de reflexão, podemos simplificar para que a condição de interferência destrutiva seja:
De
onde $ m $ é um número inteiro (ordem da interferência).

Passo 6

Igualando as duas expressões para $ \Delta $, temos:
De
Agora, vamos resolver para $ r $:
nf r^2R = m lambda
r

Resposta

Portanto, o raio $ r $ dos anéis de Newton para interferência destrutiva, quando $ r $ é muito menor que $ R $, é dado por:
r

Exercícios relacionados