Questão 4 (1,0 ponto). Seja
um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição
de
tal que tanto
quanto cada elemento de
é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se temos um conjunto
que é enumerável (ou seja, podemos listar seus elementos como uma sequência), então existe uma partição
de
onde tanto
quanto cada parte dela são enumeráveis. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre conjuntos enumeráveis e partições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto
é enumerável se podemos listar seus elementos em uma sequência, tipo
. Isso significa que há uma bijeção entre
e os números naturais
.
Passo 3
Agora, uma partição
de
é um conjunto de subconjuntos de
que são disjuntos entre si e cuja união dá todo o conjunto
. Ou seja, cada elemento de
está em exatamente um subconjunto de
.
Passo 4
Queremos que tanto
quanto cada subconjunto em
sejam enumeráveis. Para isso, vamos construir
de forma que cada subconjunto contenha um n��mero finito de elementos de
e que possamos listar todos esses subconjuntos.
Passo 5
Vamos construir a partição
assim: para cada número natural
, definimos um subconjunto
contendo apenas o elemento
. Ou seja,
.
Passo 6
Dessa forma, cada
é um conjunto com um único elemento, então obviamente é enumerável. Além disso, a coleção
é enumerável porque podemos listá-la como uma sequência baseada nos índices dos elementos de
.
Passo 7
Finalmente, verificamos que
é uma partição de
porque cada elemento
está exatamente em um conjunto
e todos os
são disjuntos.
Resposta
Existe uma partição
de
onde tanto
quanto cada elemento de
são enumeráveis.