Questão 4 (1,0 ponto). Seja um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição de tal que tanto quanto cada elemento de é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se temos um conjunto que é enumerável (ou seja, podemos listar seus elementos como uma sequência), então existe uma partição de onde tanto quanto cada parte dela são enumeráveis. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre conjuntos enumeráveis e partições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se podemos listar seus elementos em uma sequência, tipo . Isso significa que há uma bijeção entre e os números naturais .

Passo 3

Agora, uma partição de é um conjunto de subconjuntos de que são disjuntos entre si e cuja união dá todo o conjunto . Ou seja, cada elemento de está em exatamente um subconjunto de .

Passo 4

Queremos que tanto quanto cada subconjunto em sejam enumeráveis. Para isso, vamos construir de forma que cada subconjunto contenha um n��mero finito de elementos de e que possamos listar todos esses subconjuntos.

Passo 5

Vamos construir a partição assim: para cada número natural , definimos um subconjunto contendo apenas o elemento . Ou seja, .

Passo 6

Dessa forma, cada é um conjunto com um único elemento, então obviamente é enumerável. Além disso, a coleção é enumerável porque podemos listá-la como uma sequência baseada nos índices dos elementos de .

Passo 7

Finalmente, verificamos que é uma partição de porque cada elemento está exatamente em um conjunto e todos os são disjuntos.

Resposta

Existe uma partição de onde tanto quanto cada elemento de são enumeráveis.

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Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
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Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se e são ordens parciais em , então também é uma ordem parcial em .
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo: . Então, se , então não é sobrejetiva.
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