Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se
é incontável e
é uma função injetiva, então
é incontável.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está falando sobre conjuntos incontáveis e funções injetivas. A gente precisa entender se, ao ter uma função injetiva de um conjunto incontável
para outro conjunto
, isso faz com que
também seja incontável. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um conjunto ser incontável e o que é uma função injetiva.
Passo 2
Primeiro, um conjunto é incontável se ele não pode ser colocado em correspondência um a um com os números naturais. Ou seja, não conseguimos listar todos os elementos desse conjunto de forma que cada elemento tenha um único número natural associado.
Passo 3
Agora, uma função é injetiva (ou injetora) se cada elemento do conjunto de partida
é mapeado para um elemento único em
. Isso significa que não há dois elementos diferentes em
que apontem para o mesmo elemento em
.
Passo 4
Se
é incontável e
é injetiva, então cada elemento de
está ligado a um elemento exclusivo em
. Se
fosse contável, isso implicaria que
também seria contável, o que é uma contradição, já que
é incontável.
Passo 5
Portanto, se há uma função injetiva de um conjunto incontável
para
, não tem como
ser contável. Logo,
também tem que ser incontável.
Resposta
Verdadeiro.
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Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo:
. Então, se
, então
não é sobrejetiva.
© Seja
Questão 4 (1,0 ponto). Seja
um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição
de
tal que tanto
quanto cada elemento de
é enumerável.
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo .
(a) Para todo
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo , se
, então
.
(b) Para todo