Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se é incontável e é uma função injetiva, então é incontável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está falando sobre conjuntos incontáveis e funções injetivas. A gente precisa entender se, ao ter uma função injetiva de um conjunto incontável para outro conjunto , isso faz com que também seja incontável. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um conjunto ser incontável e o que é uma função injetiva.

Passo 2

Primeiro, um conjunto é incontável se ele não pode ser colocado em correspondência um a um com os números naturais. Ou seja, não conseguimos listar todos os elementos desse conjunto de forma que cada elemento tenha um único número natural associado.

Passo 3

Agora, uma função é injetiva (ou injetora) se cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento único em . Isso significa que não há dois elementos diferentes em que apontem para o mesmo elemento em .

Passo 4

Se é incontável e é injetiva, então cada elemento de está ligado a um elemento exclusivo em . Se fosse contável, isso implicaria que também seria contável, o que é uma contradição, já que é incontável.

Passo 5

Portanto, se há uma função injetiva de um conjunto incontável para , não tem como ser contável. Logo, também tem que ser incontável.

Resposta

Verdadeiro.

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Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo: . Então, se , então não é sobrejetiva.
Questão 4 (1,0 ponto). Seja um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição de tal que tanto quanto cada elemento de é enumerável.
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo .
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo , se , então .