Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se A é incontável e f: A -> B é uma função injetiva, então B é incontável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está falando sobre conjuntos incontáveis e funções injetivas. A gente precisa entender se, ao ter uma função injetiva de um conjunto incontável para outro conjunto , isso faz com que também seja incontável. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um conjunto ser incontável e o que é uma função injetiva.

Passo 2

Primeiro, um conjunto é incontável se ele não pode ser colocado em correspondência um a um com os números naturais. Ou seja, não conseguimos listar todos os elementos desse conjunto de forma que cada elemento tenha um único número natural associado.

Passo 3

Agora, uma função é injetiva (ou injetora) se cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento único em . Isso significa que não há dois elementos diferentes em que apontem para o mesmo elemento em .

Passo 4

Se é incontável e é injetiva, então cada elemento de está ligado a um elemento exclusivo em . Se fosse contável, isso implicaria que também seria contável, o que é uma contradição, já que é incontável.

Passo 5

Portanto, se há uma função injetiva de um conjunto incontável para , não tem como ser contável. Logo, também tem que ser incontável.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados