Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja
uma função satisfazendo:
. Então, se
, então
não é sobrejetiva.
© Seja
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
que sempre mapeia qualquer elemento de
para um único elemento
em
. Ou seja,
para todo
. O enunciado nos pergunta se, quando o conjunto
tem mais de um elemento (
), a função
deixa de ser sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora (ou “sobre”). Uma função
é sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Em outras palavras, todos os elementos de
são “alcançados” pela função
.
Passo 3
No nosso caso, a função
é constante, ou seja, ela sempre retorna o mesmo elemento
independente da entrada
. Portanto, apenas esse elemento
é “alcançado” por
.
Passo 4
Agora, se
, isso significa que existem pelo menos dois elementos diferentes em
. Como
só mapeia para um único elemento
, os outros elementos de
nunca são alcançados por
.
Passo 5
Concluindo, como nem todos os elementos de
são atingidos pela função
quando
, a função
não é sobrejetora nessas condições.
Resposta
Verdadeiro. A função
não é sobrejetora se
.
Exercícios relacionados
Questão 4 (1,0 ponto). Seja
um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição
de
tal que tanto
quanto cada elemento de
é enumerável.
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Seja é uma ordem parcial em
e
. Se
é elemento
-mínimo de
, então
é o menor limitante inferior de
.
(b) Seja
Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se é incontável e
é uma função injetiva, então
é incontável.
(b) Se
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo .
(a) Para todo