Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo: . Então, se , então não é sobrejetiva.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função que sempre mapeia qualquer elemento de para um único elemento em . Ou seja, para todo . O enunciado nos pergunta se, quando o conjunto tem mais de um elemento ( ), a função deixa de ser sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora (ou “sobre”). Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Em outras palavras, todos os elementos de são “alcançados” pela função .

Passo 3

No nosso caso, a função é constante, ou seja, ela sempre retorna o mesmo elemento independente da entrada . Portanto, apenas esse elemento é “alcançado” por .

Passo 4

Agora, se , isso significa que existem pelo menos dois elementos diferentes em . Como só mapeia para um único elemento , os outros elementos de nunca são alcançados por .

Passo 5

Concluindo, como nem todos os elementos de são atingidos pela função quando , a função não é sobrejetora nessas condições.

Resposta

Verdadeiro. A função não é sobrejetora se .

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Questão 4 (1,0 ponto). Seja um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição de tal que tanto quanto cada elemento de é enumerável.
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Seja é uma ordem parcial em e . Se é elemento -mínimo de , então é o menor limitante inferior de .
Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se é incontável e é uma função injetiva, então é incontável.
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo .