Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Seja
é uma ordem parcial em
e
. Se
é elemento
-mínimo de
, então
é o menor limitante inferior de
.
(b) Seja
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com ordens parciais, que são um jeito de organizar elementos de um conjunto com uma relação específica. Precisamos verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e depois explicar o porquê. A afirmação é: “Se
é um elemento
-mínimo de
, então
é o menor limitante inferior de
.”
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um elemento
-mínimo de um conjunto
. Um elemento
em
é chamado de mínimo se não existe outro elemento em
que seja menor que
de acordo com a ordem
. Ou seja, não tem nada em
que esteja “abaixo” de
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é um menor limitante inferior (também conhecido como infimum). O infimum de
é o maior elemento que é menor ou igual a todos os elementos de
. Ele atua como um “limite de baixo” para o conjunto.
Passo 4
A questão afirma que se
é um elemento
-mínimo de
, então
é o menor limitante inferior de
. No entanto, isso nem sempre é verdade. Ser um elemento mínimo significa apenas que não há elementos menores que
dentro de
, mas não garante que
seja menor ou igual a todos os elementos de
. Além disso, pode haver casos onde um conjunto tem múltiplos elementos mínimos que não são comparáveis entre si, ou onde o infimum não existe dentro do conjunto.
Resposta
Falso.
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Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se e
são ordens parciais em
, então
também é uma ordem parcial em
.
(a) Se
Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se é enumerável e
é incontável, então
é incontável.
(a) Se
Questão 4 (1,0 ponto). Seja
um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição
de
tal que tanto
quanto cada elemento de
é enumerável.
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo:
. Então, se
, então
não é sobrejetiva.
© Seja