Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Seja é uma ordem parcial em e . Se é elemento -mínimo de , então é o menor limitante inferior de .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com ordens parciais, que são um jeito de organizar elementos de um conjunto com uma relação específica. Precisamos verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e depois explicar o porquê. A afirmação é: “Se é um elemento -mínimo de , então é o menor limitante inferior de .”

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um elemento -mínimo de um conjunto . Um elemento em é chamado de mínimo se não existe outro elemento em que seja menor que de acordo com a ordem . Ou seja, não tem nada em que esteja “abaixo” de .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é um menor limitante inferior (também conhecido como infimum). O infimum de é o maior elemento que é menor ou igual a todos os elementos de . Ele atua como um “limite de baixo” para o conjunto.

Passo 4

A questão afirma que se é um elemento -mínimo de , então é o menor limitante inferior de . No entanto, isso nem sempre é verdade. Ser um elemento mínimo significa apenas que não há elementos menores que dentro de , mas não garante que seja menor ou igual a todos os elementos de . Além disso, pode haver casos onde um conjunto tem múltiplos elementos mínimos que não são comparáveis entre si, ou onde o infimum não existe dentro do conjunto.

Resposta

Falso.

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Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se e são ordens parciais em , então também é uma ordem parcial em .
Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(a) Se é enumerável e é incontável, então é incontável.
Questão 4 (1,0 ponto). Seja um conjunto enumerável. Mostre que existe uma partição de tal que tanto quanto cada elemento de é enumerável.
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo: . Então, se , então não é sobrejetiva.