Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo n in N(sumi=0^n i(i+1)=n(n+1)(n+2) / 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a soma dos termos de até é igual a . Então, estamos lidando com uma soma de termos quadráticos e vamos precisar usar o princípio da indução matemática para demonstrar que essa fórmula funciona para todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, ou seja, quando sumi=0^0 i(i+1) = 0 times (0 + 1) = 0 . Isso é importante para garantir que nossa base da indução está correta.
Para 0 times (0 + 1) times (0 + 2)3 = 0 times 1 times 23 = 0 :
E pela fórmula:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está confirmado!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum sumi=0^k i(i+1) = k(k+1)(k+2)3 natural. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a fórmula também é válida para .

Passo 4

Nosso próximo passo é provar que, se a fórmula funciona para sumi=0^k+1 i(i+1) = ( sumi=0^k i(i+1) ) + (k+1)(k+2) , ela também funciona para sumi=0^k i(i+1) = k(k+1)(k+2)3 . Vamos calcular a soma até sumi=0^k+1 i(i+1) = k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2) :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então,

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)3
Fatorando = (k+1)(k+2)(k + 3)3 = (k+1)(k+2)(k+3)3 :
(k+1)(k+2)(k+3)3
Isso é exatamente o que a fórmula prevê para :
Portanto, se a fórmula funciona para , ela também funciona para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo sumi=0^n i(i+1) = n(n+1)(n+2)3 ,

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