Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo
.
(a) Para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a soma dos termos
de
até
é igual a
. Então, estamos lidando com uma soma de termos quadráticos e vamos precisar usar o princípio da indução matemática para demonstrar que essa fórmula funciona para todos os
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, ou seja, quando
. Isso é importante para garantir que nossa base da indução está correta.
Para
:
E pela fórmula:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está confirmado!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum
natural. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a fórmula também é válida para
.
Passo 4
Nosso próximo passo é provar que, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
. Vamos calcular a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então,
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Fatorando
:
Isso é exatamente o que a fórmula prevê para
:
Portanto, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
,
Exercícios relacionados
Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se é incontável e
é uma função injetiva, então
é incontável.
(b) Se
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo:
. Então, se
, então
não é sobrejetiva.
© Seja
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo , se
, então
.
(b) Para todo
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com lados possui pelo menos 2 triângulos exteriores.
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com
Figura 1: Octógono triangulado e três triângulos exteriores.