Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a soma dos termos de até é igual a . Então, estamos lidando com uma soma de termos quadráticos e vamos precisar usar o princípio da indução matemática para demonstrar que essa fórmula funciona para todos os .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, ou seja, quando . Isso é importante para garantir que nossa base da indução está correta.
Para :
E pela fórmula:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está confirmado!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum natural. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a fórmula também é válida para .

Passo 4

Nosso próximo passo é provar que, se a fórmula funciona para , ela também funciona para . Vamos calcular a soma até :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então,

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Fatorando :
Isso é exatamente o que a fórmula prevê para :
Portanto, se a fórmula funciona para , ela também funciona para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo ,

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Questão 3 (2,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
(b) Se é incontável e é uma função injetiva, então é incontável.
Questão 1 (3,0 pontos). Para cada item a seguir, primeiro afirme se o enunciado é verdadeiro ou falso. Em seguida, demonstre a sua afirmação.
© Seja uma função satisfazendo: . Então, se , então não é sobrejetiva.
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(b) Para todo , se , então .
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com lados possui pelo menos 2 triângulos exteriores.
Figura 1: Octógono triangulado e três triângulos exteriores.