Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
(a) Para todo
.
(a) Para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a soma dos termos
de
até
é igual a
. Então, estamos lidando com uma soma de termos quadráticos e vamos precisar usar o princípio da indução matemática para demonstrar que essa fórmula funciona para todos os
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, ou seja, quando
. Isso é importante para garantir que nossa base da indução está correta.
Para
:
E pela fórmula:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está confirmado!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum
natural. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a fórmula também é válida para
.
Passo 4
Nosso próximo passo é provar que, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
. Vamos calcular a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então,
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Fatorando
:
Isso é exatamente o que a fórmula prevê para
:
Portanto, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
,