Questão ( 1,5 pontos) Calcule a área dentro de ambos os círculos
(x-1)² + (y-1)² = 2 e x² + (y-1)² = 1

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular a área que está dentro dos dois círculos definidos por e . Vamos precisar usar a geometria dos círculos e entender como encontrar a área de interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características de cada círculo:
  • Círculo 1: A equação descreve um círculo com centro em e raio , já que a forma geral da equação é , onde é o centro e é o raio.
  • Círculo 2: A equação descreve um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os centros dos dois círculos para entender como eles se sobrepõem. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aplicando aos nossos círculos:
Como a distância entre os centros é menor que a soma dos raios ( ), os círculos se sobrepõem.

Passo 4

Para encontrar a área de interseção entre dois círculos, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando o primeiro arco:
  1. Calculando o segundo arco:
  1. Calculando a parte da raiz:
Substituindo na fórmula:

Resposta

A área dentro de ambos os círculos é .

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