Questão ( 1,5 pontos) Calcule a área dentro de ambos os círculos

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular a área que está dentro dos dois círculos definidos por e . Vamos precisar usar a geometria dos círculos e entender como encontrar a área de interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características de cada círculo:
  • Círculo 1: A equação descreve um círculo com centro em e raio , já que a forma geral da equação é , onde é o centro e é o raio.
  • Círculo 2: A equação descreve um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os centros dos dois círculos para entender como eles se sobrepõem. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aplicando aos nossos círculos:
Como a distância entre os centros é menor que a soma dos raios ( ), os círculos se sobrepõem.

Passo 4

Para encontrar a área de interseção entre dois círculos, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando o primeiro arco:
  1. Calculando o segundo arco:
  1. Calculando a parte da raiz:
Substituindo na fórmula:

Resposta

A área dentro de ambos os círculos é .

Exercícios relacionados

Questão ( 2,0 pontos) Considere o toro de revolução gerado pela rotação do círculo de raio centrado no ponto em torno do eixo , para . Calcule o volume deste sólido pelos três métodos estudados em sala de aula: seções transversais, cascas cilíndricas e Teorema de Pappus.
Determine a derivada das funções dadas:
Questão ( 3,0 pontos) Considere um quadrado de lado . Suponha que em cada um dos vértices de é colocado um inseto. Os insetos começam a andar todos ao mesmo tempo, no sentido anti-horário, todos na mesma velocidade de tal forma que cada um deles anda sempre em direção ao inseto à sua direita. Eles se aproximam do centro de ao longo de um caminho em espiral.
(a) Encontre uma parametrização do caminho de um dos insectos.
Questão ( 2,0 pontos) Mostre que a curva tem duas retas tangentes no ponto . Esboçe a curva encontrando inclusive as tangentes horizontais, verticais e determinando a concavidade.