Questão 2.(2 pontos) Resolva cada um dos problemas abaixo utilisando in-
tegrais duplas:
a) Calcule a área da regiâo delimitada pelo laço de rasácea
x = r cos(theta), y = r sen(theta), r = cos(3 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada por um laço de rasácea usando integrais duplas. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de áreas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral em coordenadas polares e identificar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que a área em coordenadas polares é calculada usando a fórmula:
Á
Aqui, é a função que descreve a curva em termos de .

Passo 3

A equação dada é . Essa função representa uma rosa com 3 pétalas, porque o coeficiente de é 3 e é ímpar. Então, cada pétala está espalhada uniformemente no círculo.

Passo 4

Vamos calcular a área de uma pétala primeiro. Para encontrar os limites de que correspondem a uma pétala, observamos que a função é positiva entre e . Portanto, a integral para uma pétala fica assim:
Áé

Passo 5

Para resolver a integral, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar :
Aplicando isso:
Calculando os limites:

Passo 6

Como temos 3 pétalas iguais, multiplicamos a área de uma pétala por 3:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelo laço de rasácea é .

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