Questão 2.(2 pontos) Resolva cada um dos problemas abaixo utilisando in-
tegrais duplas:
a) Calcule a área da regiâo delimitada pelo laço de rasácea
tegrais duplas:
a) Calcule a área da regiâo delimitada pelo laço de rasácea
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada por um laço de rasácea usando integrais duplas. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de áreas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral em coordenadas polares e identificar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber que a área em coordenadas polares é calculada usando a fórmula:
Aqui,
é a função que descreve a curva em termos de
.
Passo 3
A equação dada é
. Essa função representa uma rosa com 3 pétalas, porque o coeficiente de
é 3 e é ímpar. Então, cada pétala está espalhada uniformemente no círculo.
Passo 4
Vamos calcular a área de uma pétala primeiro. Para encontrar os limites de
que correspondem a uma pétala, observamos que a função
é positiva entre
e
. Portanto, a integral para uma pétala fica assim:
Passo 5
Para resolver a integral, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar
:
Aplicando isso:
Calculando os limites:
Passo 6
Como temos 3 pétalas iguais, multiplicamos a área de uma pétala por 3:
Resposta
A área da região delimitada pelo laço de rasácea é
.
Exercícios relacionados
Questão 1.(6 pontos) Calcule as integrais duplas abaixo:
b) , onde
b)
Utilize a transformação
para determinar o volume da região limitada pela superfície
e pelos planos coordenados.
Questão 3. (2 pontos) Uma carga eleétrica é distribuida sobre o retângulo
. Se a a densidade de carga é dada por
determine a carga total.
determine a carga total.
- Lista 01: Resolva as seguintes equações separáveis
(a)