Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função f(x) = x^3 - x^2 - x + 1
f) ( 1,0 pontos) f possui máximos e mínimos locais? E globais? Se sim, quais são?

Passo 1

Então, a gente tem a função . A questão é saber se essa função tem máximos e mínimos locais, e também se tem máximos e mínimos globais. Para descobrir isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função para encontrar os pontos críticos onde a função pode atingir esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos ajuda a encontrar onde a função muda sua inclinação, ou seja, onde ela pode ter máximos ou mínimos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero.
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Com os pontos críticos e , vamos determinar se são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.

Passo 5

Para verificar se esses pontos são também máximos ou mínimos globais, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso mostra que a função não tem limites superiores ou inferiores globais, já que ela cresce sem limites em ambas as direções.

Resposta

A função possui um máximo local em e um mínimo local em . Ela não possui máximos ou mínimos globais.

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