Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função
f) ( 1,0 pontos)
possui máximos e mínimos locais? E globais? Se sim, quais são?
f) ( 1,0 pontos)
Passo 1
Então, a gente tem a função
. A questão é saber se essa função tem máximos e mínimos locais, e também se tem máximos e mínimos globais. Para descobrir isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função para encontrar os pontos críticos onde a função pode atingir esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função muda sua inclinação, ou seja, onde ela pode ter máximos ou mínimos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero.
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, vamos determinar se são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Para verificar se esses pontos são também máximos ou mínimos globais, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito:
- Quando
, - Quando
,
Isso mostra que a função não tem limites superiores ou inferiores globais, já que ela cresce sem limites em ambas as direções.
Resposta
A função
possui um máximo local em
e um mínimo local em
. Ela não possui máximos ou mínimos globais.