O sistema abaixo não tem solução. Encontre a melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados:
c x+2 y=1 2 x-y=1 x+y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que não tem solução exata. A gente vai usar o método dos Mínimos Quadrados, que faz uma aproximação para encontrar a melhor solução possível. Para isso, precisamos entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e operações com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 1 & 2 2 & -1 1 & 1 , b = 1 1 1 . Aqui, a matriz é formada pelos coeficientes das variáveis e , e o vetor é o lado direito das equações. Então, temos:

Passo 3

O método dos Mínimos Quadrados busca minimizar o erro entre x = (A^T A)^-1 A^T b e . A fórmula para encontrar a melhor aproximação é:
Aqui, é a transposta de , e é a inversa da matriz . Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos a transposta de A^T = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 1 :

Passo 5

Agora, multiplicamos A^T A = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 1 1 & 2 2 & -1 1 & 1 = 1cdot1 + 2cdot2 + 1cdot1 & 1cdot2 + 2cdot(-1) + 1cdot1 2cdot1 + (-1)cdot2 + 1cdot1 & 2cdot2 + (-1)cdot(-1) + 1cdot1 = 6 & 1 1 & 6 por :

Passo 6

Em seguida, calculamos A^T b = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 1 1 1 1 = 1cdot1 + 2cdot1 + 1cdot1 2cdot1 + (-1)cdot1 + 1cdot1 = 4 2 :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a inversa de A^T A = 6 & 1 1 & 6 , que calculamos como:
a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
A fórmula para a inversa de uma matriz det(A^T A) = (6)(6) - (1)(1) = 36 - 1 = 35 é:
(A^T A)^-1 = 135 6 & -1 -1 & 6
Aplicando isso:
Então,

Passo 8

Finalmente, multiplicamos x = 135 6 & -1 -1 & 6 4 2 = 135 6cdot4 + (-1)cdot2 -1cdot4 + 6cdot2 = 135 24 - 2 -4 + 12 = 135 22 8 = 2235 835 por :

Resposta

A melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados para o sistema dado é:
boxed x = dfrac2235 y = dfrac835

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