O sistema abaixo não tem solução. Encontre a melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que não tem solução exata. A gente vai usar o método dos Mínimos Quadrados, que faz uma aproximação para encontrar a melhor solução possível. Para isso, precisamos entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e operações com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial . Aqui, a matriz é formada pelos coeficientes das variáveis e , e o vetor é o lado direito das equações. Então, temos:
Passo 3
O método dos Mínimos Quadrados busca minimizar o erro entre e . A fórmula para encontrar a melhor aproximação é:
Aqui, é a transposta de , e é a inversa da matriz . Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos a transposta de :
Passo 5
Agora, multiplicamos por :
Passo 6
Em seguida, calculamos :
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a inversa de , que calculamos como:
A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Aplicando isso:
Então,
Passo 8
Finalmente, multiplicamos por :
Resposta
A melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados para o sistema dado é: