1^a Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
TC=[ccccc 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ]
c-Determine a forma da transformação linear T(v), onde v=(x1, x2, x3, x4, x5). (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear representada por uma matriz na base canônica. Nosso objetivo aqui é encontrar a forma explícita dessa transformação , onde é um vetor com componentes . Para isso, vamos precisar multiplicar a matriz pelo vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear TC = 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 pode ser obtida multiplicando a matriz v = x1 x2 x3 x4 x5 pelo vetor . A matriz dada é:
E o vetor é:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a matriz T(v) = A cdot v pelo vetor T(v)1 = 2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 2x1 + x2 . Isso envolve fazer o produto de cada linha da matriz pelo vetor. A fórmula geral para a multiplicação de uma matriz T(v)2 = 3x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 3x1 + 4x2 por um vetor T(v)3 = 0x1 + 0x2 + 3x3 - 1x4 - 3x5 = 3x3 - x4 - 3x5 é:
T(v)4 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 2x4 - 2x5 = 2x4 - 2x5
Então, vamos calcular cada componente de T(v)5 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 - 1x5 = -x5 :
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
  4. Quarta componente:
  5. Quinta componente:

Resposta

Portanto, a forma da transformação linear T(v) = 2x1 + x2 3x1 + 4x2 3x3 - x4 - 3x5 2x4 - 2x5 -x5 é:

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