Seja um domínio euclidiano com função euclidiana .
a) Prove que é uma unidade se for um mínimo do conjunto . Mostre que se para quaisquer , então a implicação recíproca também é verdadeira.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um domínio euclidiano, que basicamente é um tipo de anel onde podemos fazer divisões com resto, e ele tem uma função euclidiana. A questão tem duas partes:
a) Primeiro, precisamos provar que um elemento de é uma unidade (ou seja, tem inverso multiplicativo) se o valor for o menor possível no conjunto . Além disso, precisamos mostrar que se para quaisquer , então a implicação inversa também é verdadeira.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma unidade, o que é um domínio euclidiano, e como a função euclidiana se comporta nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma unidade em um anel. Um elemento é uma unidade se existe outro elemento tal que , onde 1 é o elemento neutro da multiplicação. Em outras palavras, tem um inverso multiplicativo.
No contexto de um domínio euclidiano, a função euclidiana permite realizar o algoritmo de divisão. Além disso, as unidades são exatamente os elementos que têm a menor possível valor pela função , que geralmente é o valor 1, mas pode variar dependendo da definição específica de .
Passo 3
Agora, vamos provar que se é o mínimo do conjunto , então é uma unidade.
Suponha que seja mínimo. Queremos mostrar que tem um inverso, ou seja, existe tal que .
Como é um domínio euclidiano, podemos aplicar o algoritmo de divisão a e a qualquer outro elemento. Consideremos a divisão de por :
Onde e . Mas como é mínimo, a única possibilidade é que .
Então, . Subtraindo ambos os lados, temos:
Como é um domínio euclidiano (e portanto um domínio de integridade), isso implica que ou ou .
Mas (pois estamos considerando ), então , ou seja, .
Portanto, , o que não nos dá diretamente o inverso. Precisamos de outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar usar o fato de que é mínimo para qualquer . Se é mínimo, então para qualquer , temos:
Agora, suponha que exista tal que . Então:
Mas também deve ser mínimo, já que é uma unidade (que estamos tentando provar). Isso sugere que , implicando que tem o mesmo “tamanho” que , o que reforça a ideia de que é uma unidade.
Passo 5
Para concluir, já que é mínimo e é um domínio euclidiano, podemos usar a propriedade das unidades nesse contexto: os elementos com o menor valor pela função euclidiana são exatamente as unidades.
Portanto, deve ser uma unidade porque é o mínimo do conjunto .
Além disso, mostramos que se para quaisquer , então deve ser uma unidade, já que seu “tamanho” é mínimo e não pode ser reduzido multiplicando por outro elemento não nulo.
Resposta
Assim, concluímos que é uma unidade se for um mínimo do conjunto . Além disso, se para quaisquer , então é uma unidade, e a implicação recíproca também é verdadeira.