Seja
um domínio euclidiano com função euclidiana
.
a) Prove que
é uma unidade se
for um mínimo do conjunto
. Mostre que se
para quaisquer
, então a implicação recíproca também é verdadeira.
a) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um domínio euclidiano
, que basicamente é um tipo de anel onde podemos fazer divisões com resto, e ele tem uma função euclidiana
. A questão tem duas partes:
a) Primeiro, precisamos provar que um elemento
de
é uma unidade (ou seja, tem inverso multiplicativo) se o valor
for o menor possível no conjunto
. Além disso, precisamos mostrar que se
para quaisquer
, então a implicação inversa também é verdadeira.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma unidade, o que é um domínio euclidiano, e como a função euclidiana
se comporta nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma unidade em um anel. Um elemento
é uma unidade se existe outro elemento
tal que
, onde 1 é o elemento neutro da multiplicação. Em outras palavras,
tem um inverso multiplicativo.
No contexto de um domínio euclidiano, a função euclidiana
permite realizar o algoritmo de divisão. Além disso, as unidades são exatamente os elementos que têm a menor possível valor pela função
, que geralmente é o valor 1, mas pode variar dependendo da definição específica de
.
Passo 3
Agora, vamos provar que se
é o mínimo do conjunto
, então
é uma unidade.
Suponha que
seja mínimo. Queremos mostrar que
tem um inverso, ou seja, existe
tal que
.
Como
é um domínio euclidiano, podemos aplicar o algoritmo de divisão a
e a qualquer outro elemento. Consideremos a divisão de
por
:
Onde
e
. Mas como
é mínimo, a única possibilidade é que
.
Então,
. Subtraindo ambos os lados, temos:
Como
é um domínio euclidiano (e portanto um domínio de integridade), isso implica que ou
ou
.
Mas
(pois estamos considerando
), então
, ou seja,
.
Portanto,
, o que não nos dá diretamente o inverso. Precisamos de outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar usar o fato de que
é mínimo para qualquer
. Se
é mínimo, então para qualquer
, temos:
Agora, suponha que exista
tal que
. Então:
Mas
também deve ser mínimo, já que
é uma unidade (que estamos tentando provar). Isso sugere que
, implicando que
tem o mesmo “tamanho” que
, o que reforça a ideia de que
é uma unidade.
Passo 5
Para concluir, já que
é mínimo e
é um domínio euclidiano, podemos usar a propriedade das unidades nesse contexto: os elementos com o menor valor pela função euclidiana são exatamente as unidades.
Portanto,
deve ser uma unidade porque
é o mínimo do conjunto
.
Além disso, mostramos que se
para quaisquer
, então
deve ser uma unidade, já que seu “tamanho” é mínimo e não pode ser reduzido multiplicando por outro elemento não nulo.
Resposta
Assim, concluímos que
é uma unidade se
for um mínimo do conjunto
. Além disso, se
para quaisquer
, então
é uma unidade, e a implicação recíproca também é verdadeira.