Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
d)
, onde
as operações de adição e multiplicação usuais em
.
d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que consiste em números da forma
, onde
e
são inteiros. As operações são a adição e a multiplicação habituais de números inteiros estendidas para este conjunto. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto com essas operações forma um anel, se tem unidade, se possui divisores de zero, se é um corpo e se é um anel de integridade. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de álgebra de anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
com essas operações forma um anel. Um anel precisa satisfazer quatro propriedades principais: fechamento sob adição e multiplicação, existência de elementos neutros para adição, existência de inversos aditivos e a associatividade das operações. Como
herda essas propriedades de
e da definição de adição e multiplicação, podemos concluir que é um anel.
Passo 3
Agora, vamos ver se esse anel possui uma unidade, ou seja, um elemento que age como o número 1 na multiplicação. De fato, o elemento
atua como a unidade multiplicativa, pois para qualquer
em
, temos:
Portanto,
é um anel com unidade.
Passo 4
Vamos verificar se existem divisores de zero nesse anel. Divisores de zero são pares de elementos não nulos que, quando multiplicados, dão zero. Calculando o produto de dois elementos genéricos:
Para que isso seja zero, precisamos que:
No conjunto dos inteiros, a única solução para isso é
. Portanto, não existem divisores de zero em
.
Passo 5
Para determinar se
é um corpo, devemos verificar se todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. No entanto, neste anel, nem todo elemento possui um inverso dentro do conjunto. Por exemplo, o elemento
não possui um inverso que seja outro elemento de
. Portanto,
não é um corpo.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se
é um anel de integridade. Um anel de integridade é um anel comutativo sem divisores de zero. Já estabelecemos que
não possui divisores de zero e é comutativo na multiplicação. Portanto,
é um anel de integridade.
Resposta
O conjunto
com as operações de adição e multiplicação usuais forma um anel com unidade, não possui divisores de zero, não é um corpo, e é um anel de integridade.