Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
d) (Z[raiz-2],+, cdot), onde Z[raiz-2]=a+b raiz-2 ; a, b in Z e+e cdot as operações de adição e multiplicação usuais em Z.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que consiste em números da forma , onde e são inteiros. As operações são a adição e a multiplicação habituais de números inteiros estendidas para este conjunto. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto com essas operações forma um anel, se tem unidade, se possui divisores de zero, se é um corpo e se é um anel de integridade. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de álgebra de anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se com essas operações forma um anel. Um anel precisa satisfazer quatro propriedades principais: fechamento sob adição e multiplicação, existência de elementos neutros para adição, existência de inversos aditivos e a associatividade das operações. Como herda essas propriedades de e da definição de adição e multiplicação, podemos concluir que é um anel.

Passo 3

Agora, vamos ver se esse anel possui uma unidade, ou seja, um elemento que age como o número 1 na multiplicação. De fato, o elemento (a + braiz-2) cdot 1 = a + braiz-2 atua como a unidade multiplicativa, pois para qualquer em , temos:
Portanto, é um anel com unidade.

Passo 4

Vamos verificar se existem divisores de zero nesse anel. Divisores de zero são pares de elementos não nulos que, quando multiplicados, dão zero. Calculando o produto de dois elementos genéricos:
(a + braiz-2)(c + draiz-2) = (ac - 2bd) + (ad + bc)raiz-2
Para que isso seja zero, precisamos que:
ac - 2bd = 0 e ad + bc = 0
No conjunto dos inteiros, a única solução para isso é . Portanto, não existem divisores de zero em .

Passo 5

Para determinar se é um corpo, devemos verificar se todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. No entanto, neste anel, nem todo elemento possui um inverso dentro do conjunto. Por exemplo, o elemento não possui um inverso que seja outro elemento de . Portanto, não é um corpo.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se é um anel de integridade. Um anel de integridade é um anel comutativo sem divisores de zero. Já estabelecemos que não possui divisores de zero e é comutativo na multiplicação. Portanto, é um anel de integridade.

Resposta

O conjunto com as operações de adição e multiplicação usuais forma um anel com unidade, não possui divisores de zero, não é um corpo, e é um anel de integridade.

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