Questão (2,5 pontos). Considere os planos:

a) Estude a posição relativa entre os planos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a posição relativa entre dois planos no espaço. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações dos planos e verificar se eles são paralelos, coincidentes ou se se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
  • Plano π:
  • Plano α: a equação paramétrica é dada por , onde
Para facilitar a comparação, vamos transformar a equação paramétrica do plano α em forma cartesiana.

Passo 3

Na equação paramétrica do plano α, temos:
Podemos eliminar os parâmetros e para encontrar a equação cartesiana do plano α.

Passo 4

Vamos resolver para e a partir das duas primeiras equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :
Simplificando:
Agora, substituímos na terceira equação para :
Então, a equação cartesiana do plano α é:

Passo 5

Agora, temos as duas equações dos planos:
  • Plano π:
  • Plano α:
Podemos reescrever a equação do plano α na forma geral:
E a do plano π:
Agora, observamos os coeficientes das variáveis e :
  • Para π: , ,
  • Para α: , ,

Passo 6

Para estudar a posição relativa entre dois planos, comparamos os coeficientes das variáveis:
  • Se os vetores normais forem proporcionais, os planos são paralelos ou coincidentes.
  • Se não forem proporcionais, os planos se interceptam em uma reta.
Vamos verificar se os vetores normais são proporcionais:
Como mas , os planos são paralelos e distintos, ou seja, não coincidem.

Resposta

Os planos π e α são paralelos e distintos, ou seja, eles não se coincidem nem se interceptam.

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