Questão 3 (3,0 pontos). Considere a seguintes retas
a)Determine o ponto de interseção .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , e precisa encontrar se elas se cruzam, ou seja, identificar o ponto de interseção . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações paramétricas de retas e como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das duas retas. A reta está definida pelas seguintes equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais.
Já a reta está dada pela equação simétrica:
Para facilitar, vamos reescrever a reta em forma paramétrica também. Vamos chamar o parâmetro de (não confundir com o nome da reta).
Passo 3
Reescrevendo a reta em paramétricas, temos:
Agora temos ambas as retas e com suas equações paramétricas, usando os parâmetros e , respectivamente.
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos achar valores de e que façam com que as coordenadas , e sejam iguais nas duas retas. Ou seja, temos que resolver o sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2). Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Passo 7
Com , podemos encontrar usando a equação (4):
Passo 8
Agora que temos e , vamos substituir esses valores nas equações paramétricas de qualquer uma das retas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção. Vamos usar a reta :