Questão 3 (3,0 pontos). Considere a seguintes retas
r:l x=4-t y=3+2 t z=2-3 t (t in R) s: x+3-8=y+2-3=z-1-4
a)Determine o ponto de interseção r cap s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , e precisa encontrar se elas se cruzam, ou seja, identificar o ponto de interseção . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações paramétricas de retas e como resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das duas retas. A reta x = 4 - t y = 3 + 2t z = 2 - 3t está definida pelas seguintes equações paramétricas:
x + 3-8 = y + 2-3 = z - 1-4
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais.
Já a reta está dada pela equação simétrica:
Para facilitar, vamos reescrever a reta em forma paramétrica também. Vamos chamar o parâmetro de (não confundir com o nome da reta).

Passo 3

Reescrevendo a reta x = -8s - 3 y = -3s - 2 z = -4s + 1 em paramétricas, temos:
Agora temos ambas as retas e com suas equações paramétricas, usando os parâmetros e , respectivamente.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos achar valores de 4 - t = -8s - 3 3 + 2t = -3s - 2 2 - 3t = -4s + 1 e que façam com que as coordenadas , e sejam iguais nas duas retas. Ou seja, temos que resolver o sistema:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
4 - t = -8s - 3 Rightarrow -t + 8s = -7 (1)
Da segunda equação:
3 + 2t = -3s - 2 Rightarrow 2t + 3s = -5 (2)
Da terceira equação:
2 - 3t = -4s + 1 Rightarrow -3t + 4s = -1 (3)

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2). Da equação (1):
-t + 8s = -7 Rightarrow t = 8s + 7 (4)
Substituindo 2(8s + 7) + 3s = -5 Rightarrow 16s + 14 + 3s = -5 Rightarrow 19s = -19 Rightarrow s = -1 na equação (2):

Passo 7

Com t = 8(-1) + 7 = -8 + 7 = -1 , podemos encontrar usando a equação (4):

Passo 8

Agora que temos x = 4 - (-1) = 5 y = 3 + 2(-1) = 1 z = 2 - 3(-1) = 5 e , vamos substituir esses valores nas equações paramétricas de qualquer uma das retas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção. Vamos usar a reta :

Resposta

O ponto de interseção das retas e é .

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