Questão 2: (2 pontos)
Uma criança de 25 kg numa praça corre com velocidade inicial de 2,5 m / s ao longo da linha tangente da borda de um gira-gira, o qual possui raio de 2,0 m. O gira-gira, inicialmente em repouso, tem momento de inércia de 500 kgm^2. A criança, então, pula no gira-gira (veja Figura ao lado). Encontre a energia cinética de rotação final do sistema criança-gira-gira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma criança de 25 kg correndo com uma velocidade de 2,5 m/s em uma linha tangente a um gira-gira com raio de 2,0 m. O gira-gira tem um momento de inércia de 500 kg·m² e está inicialmente parado. A criança pula no gira-gira, e queremos descobrir qual será a energia cinética de rotação final do sistema formado pela criança e pelo gira-gira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, conservação do momento angular e energia cinética de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia total do sistema após a criança pular no gira-gira. O momento de inércia total é a soma do momento de inércia do gira-gira mais o momento de inércia da criança. Como a criança pode ser considerada como uma partícula pontual, o momento de inércia dela é dado por:
Icriança = m times r^2 ç
onde Icriança = 25 times (2)^2 = 25 times 4 = 100 , kg·m^2 e Itotal = Igira-gira + Icriança = 500 + 100 = 600 , kg·m^2 . Então:
ç
Agora, somamos com o momento de inércia do gira-gira:
ç

Passo 3

Em seguida, vamos usar a conservação do momento angular. Como não há torques externos agindo no sistema, o momento angular inicial será igual ao momento angular final. O momento angular inicial é somente da criança, já que o gira-gira está parado. O momento angular ( L = m times v times r ) é dado por:
Linicial = 25 times 2,5 times 2 = 125 , kg·m^2/s
onde omega = LinicialItotal = 125600 approx 0,2083 , rad/s , e . Então:
Como , podemos resolver para :

Passo 4

Agora que temos a velocidade angular final ( KErot = 12 times Itotal times omega^2 ), podemos calcular a energia cinética de rotação do sistema. A energia cinética de rotação ( KErot = 12 times 600 times (0,2083)^2 ) é dada por:
KErot = 300 times 0,0434
Substituindo os valores:
KErot approx 13,04 , J

Resposta

A energia cinética de rotação final do sistema criança-gira-gira é aproximadamente 13 J.

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