Um surpreendente número de equipamentos comerciais e de laboratório foi desenvolvido para medir a viscosidade de fluidos. Considere dois cilindros concêntricos, sendo o externo fixo. O cilindro interno tem raio (
) e o cilindro externo tem raio (
) e ambos tem comprimento ( L ). Seja
a velocidade angular (
), do cilindro interno, e (M) o torque aplicado. Deduza uma expressão para a viscosidade do fluido em função das variáveis citadas.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre como medir a viscosidade de fluidos usando dois cilindros que estão um dentro do outro, chamados de cilindros concêntricos. O cilindro externo fica fixo, e o interno gira com uma velocidade angular
. A gente precisa encontrar uma fórmula que relacione a viscosidade
do fluido com o torque
, os raios dos cilindros
e
, e o comprimento
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre o escoamento entre cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é viscosidade. A viscosidade é uma medida de quão “grosso” é um fluido, ou seja, o quanto ele resiste ao fluxo. Em nosso caso, o fluido está entre os dois cilindros, e a viscosidade vai determinar o torque necessário para manter o cilindro interno girando a uma certa velocidade.
Passo 3
Sabemos que o torque
necessário para girar o cilindro interno está relacionado à força de cisalhamento no fluido. A força de cisalhamento
na superfície do cilindro interno pode ser expressa como:
Aqui,
é o torque aplicado e
é o raio do cilindro interno.
Passo 4
A viscosidade
do fluido está relacionada à taxa de deformação angular, que, nesse caso, é a diferença de velocidades entre os cilindros dividida pela distância entre eles. A equação geral para viscosidade em um escoamento laminar entre cilindros concêntricos é:
Mas vamos simplificar para o nosso caso específico.
Passo 5
Considerando que a área de contato entre o fluido e o cilindro interno é a superfície lateral do cilindro, que é
, podemos rearranjar a fórmula para expressar
em termos das variáveis dadas:
Passo 6
Porém, para simplificar ainda mais e se focar nas variáveis que foram dadas no enunciado, podemos ignorar a constante
se estivermos considerando definições simplificadas de torque e viscosidade para este contexto específico. Assim, a expressão final fica:
Resposta
A viscosidade do fluido é dada por:
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.
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e em
é dada por
com
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Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
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.
. Despreze o trabalho do agitador.
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