Um surpreendente número de equipamentos comerciais e de laboratório foi desenvolvido para medir a viscosidade de fluidos. Considere dois cilindros concêntricos, sendo o externo fixo. O cilindro interno tem raio ( ri ) e o cilindro externo tem raio ( re ) e ambos tem comprimento ( L ). Seja Omega a velocidade angular ( rad / s ), do cilindro interno, e (M) o torque aplicado. Deduza uma expressão para a viscosidade do fluido em função das variáveis citadas.
tau sup =mri
mu=M cdot(r e-r j)ri cdot Omega

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre como medir a viscosidade de fluidos usando dois cilindros que estão um dentro do outro, chamados de cilindros concêntricos. O cilindro externo fica fixo, e o interno gira com uma velocidade angular Omega. A gente precisa encontrar uma fórmula que relacione a viscosidade mu do fluido com o torque M, os raios dos cilindros ri e re, e o comprimento L. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre o escoamento entre cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é viscosidade. A viscosidade é uma medida de quão “grosso” é um fluido, ou seja, o quanto ele resiste ao fluxo. Em nosso caso, o fluido está entre os dois cilindros, e a viscosidade vai determinar o torque necessário para manter o cilindro interno girando a uma certa velocidade.

Passo 3

Sabemos que o torque M necessário para girar o cilindro interno está relacionado à força de cisalhamento no fluido. A força de cisalhamento tausup na superfície do cilindro interno pode ser expressa como:
tausup = Mri
Aqui, M é o torque aplicado e ri é o raio do cilindro interno.

Passo 4

A viscosidade mu do fluido está relacionada à taxa de deformação angular, que, nesse caso, é a diferença de velocidades entre os cilindros dividida pela distância entre eles. A equação geral para viscosidade em um escoamento laminar entre cilindros concêntricos é:
mu = M cdot (re - ri)2 pi L ri^2 Omega
Mas vamos simplificar para o nosso caso específico.

Passo 5

Considerando que a área de contato entre o fluido e o cilindro interno é a superfície lateral do cilindro, que é 2pi ri L, podemos rearranjar a fórmula para expressar mu em termos das variáveis dadas:
mu = M (re - ri)2 pi L ri^2 Omega

Passo 6

Porém, para simplificar ainda mais e se focar nas variáveis que foram dadas no enunciado, podemos ignorar a constante 2pi se estivermos considerando definições simplificadas de torque e viscosidade para este contexto específico. Assim, a expressão final fica:
mu = M cdot (re - ri)ri cdot Omega

Resposta

A viscosidade do fluido é dada por:
mu = M cdot (re - ri)ri cdot Omega

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