A rough method of scaling up cylindrical liquid-mixing tanks and impellers is to keep the power input per unit volume constant. If it is desired to increase the volume of a properly baffled liquid mixer by a ratio of 3, by what ratio must the tank diameter and
impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the
complete turbulent region. The power supplied to the mixing prelles complete turbulent region. The power supplied to the mixing propeller, P, may be assumed to be a function of the propeller diameter, D, its angular velocity omega, and the liquid density rho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre aumentar o volume de tanques de mistura líquidos cilíndricos e os impulsionadores (as hélices) mantendo a potência por unidade de volume constante. Queremos aumentar o volume em um fator de 3 e descobrir como devemos alterar o diâmetro do tanque e a velocidade do impulsionador. Para isso, vamos usar conceitos de dimensionamento geométrico e análise de potência em regime turbulento completo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume V = pi D^2 H4 de um tanque cilíndrico está relacionado ao diâmetro Dnovo = D times 3^1/3 e à altura pela fórmula:
Como queremos aumentar o volume por um fator de 3, se assumirmos que a geometria é semelhante, tanto o diâmetro quanto a altura vão aumentar proporcionalmente. Ou seja, se , então o novo diâmetro será:

Passo 3

Agora, sobre a potência P = k rho omega^3 D^5 fornecida ao impulsionador. Em regime turbulento, a potência está relacionada ao diâmetro , à velocidade angular e à densidade do líquido pela relação:
Onde é uma constante que depende do sistema.

Passo 4

Queremos manter a potência por unidade de volume constante, ou seja:
PV = constante
Substituindo as expressões de rho omega^3 D^5D^2 H = constante e rho omega^3 D^2 = constante :
Como a geometria é semelhante, também escala com , então podemos simplificar para:

Passo 5

A partir dessa relação, podemos isolar a velocidade angular omega^3 propto 1D^2 :
omega propto D^-2/3
Isso significa que a velocidade angular deve ser ajustada de acordo com o diâmetro novo.

Passo 6

Sabemos que o diâmetro aumenta por um fator de omeganovo = omega times (3^1/3)^-2/3 . Então, a nova velocidade angular omeganovo = omega times 3^-2/9 será:
3^1/3 approx 1,442
3^-2/3 approx 0,480
Calculando o valor numérico:

Resposta

Para aumentar o volume do tanque por um fator de 3 mantendo a potência por unidade de volume constante, o diâmetro do tanque deve aumentar aproximadamente 1,442 vezes e a velocidade do impulsionador deve diminuir para cerca de 0,480 vezes a velocidade original.

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