A rough method of scaling up cylindrical liquid-mixing tanks and impellers is to keep the power input per unit volume constant. If it is desired to increase the volume of a properly baffled liquid mixer by a ratio of 3, by what ratio must the tank diameter and
impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the
complete turbulent region. The power supplied to the mixing prelles complete turbulent region. The power supplied to the mixing propeller,
, may be assumed to be a function of the propeller diameter,
, its angular velocity
, and the liquid density
.
impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the
complete turbulent region. The power supplied to the mixing prelles complete turbulent region. The power supplied to the mixing propeller,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre aumentar o volume de tanques de mistura líquidos cilíndricos e os impulsionadores (as hélices) mantendo a potência por unidade de volume constante. Queremos aumentar o volume em um fator de 3 e descobrir como devemos alterar o diâmetro do tanque e a velocidade do impulsionador. Para isso, vamos usar conceitos de dimensionamento geométrico e análise de potência em regime turbulento completo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume
de um tanque cilíndrico está relacionado ao diâmetro
e à altura
pela fórmula:
Como queremos aumentar o volume por um fator de 3, se assumirmos que a geometria é semelhante, tanto o diâmetro quanto a altura vão aumentar proporcionalmente. Ou seja, se
, então o novo diâmetro
será:
Passo 3
Agora, sobre a potência
fornecida ao impulsionador. Em regime turbulento, a potência está relacionada ao diâmetro
, à velocidade angular
e à densidade do líquido
pela relação:
Onde
é uma constante que depende do sistema.
Passo 4
Queremos manter a potência por unidade de volume constante, ou seja:
Substituindo as expressões de
e
:
Como a geometria é semelhante,
também escala com
, então podemos simplificar para:
Passo 5
A partir dessa relação, podemos isolar a velocidade angular
:
Isso significa que a velocidade angular deve ser ajustada de acordo com o diâmetro novo.
Passo 6
Sabemos que o diâmetro aumenta por um fator de
. Então, a nova velocidade angular
será:
Calculando o valor numérico:
Resposta
Para aumentar o volume do tanque por um fator de 3 mantendo a potência por unidade de volume constante, o diâmetro do tanque deve aumentar aproximadamente 1,442 vezes e a velocidade do impulsionador deve diminuir para cerca de 0,480 vezes a velocidade original.