Questão 3: (3 pontos)
O sistema mostrado na Figura ao lado é liberado do repouso. A massa da polia é 1,0 kg e o atrito com o rolamento no eixo pode ser desprezado. A corda não desliza sobre a polia. Se m1=3,0 kg e m2=2,0 kg, responda:
a) Qual é a aceleração do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre um sistema de polia e massas que foi liberado do repouso. O conteúdo principal aqui envolve leis de Newton e dinâmica de rotação. Para resolver, vamos precisar considerar as forças agindo nas duas massas e também o momento de inércia da polia devido à sua massa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada massa. Para a massa , a força puxando é o peso , e para , a força puxando é o peso . Aqui, é a aceleração da gravidade, aproximadamente ².

Passo 3

Agora, vamos considerar a polia. Como a polia tem massa, ela possui momento de inércia I = 12 m r^2 . Para uma polia circular, o momento de inércia é dado por:
onde é a massa da polia e é o raio da polia. Porém, como o raio não foi fornecido, vamos trabalhar com as relações de torque e aceleração.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para translação nas duas massas:
Para m1 g - T1 = m1 a :
T2 - m2 g = m2 a
Para :
Aqui, e são as tensões da corda nos lados das massas e , respectivamente, e é a aceleração comum do sistema.

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton para rotação na polia:
tau = I alpha
A torque tau = T1 r - T2 r = (T1 - T2) r causado pelas tensões é:
alpha = ar
A relação entre ( (T1 - T2) r = I cdot ar ) aceleração angular e aceleração linear ( T1 - T2 = I ar^2 ) é:
Substituindo na equação da torque:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo o momento de inércia T1 - T2 = 12 m r^2 cdot ar^2 = 12 m a na equação acima:
T1 - T2 = 12 m a
Então:

Passo 7

Agora, temos três equações:
  1. m1 g - T1 + T2 - m2 g = m1 a + m2 a
  2. (m1 - m2) g - (T1 - T2) = (m1 + m2) a
  3. (m1 - m2) g - ( 12 m a ) = (m1 + m2) a
Vamos somar as duas primeiras equações:
Simplificando:
Substituindo da terceira equação:

Passo 8

Agora, isolamos (m1 - m2) g = (m1 + m2) a + 12 m a :
(m1 - m2) g = ( m1 + m2 + 12 m ) a
a = (m1 - m2) gm1 + m2 + 12 m

Passo 9

Substituindo os valores dados:
a = (3,0 , kg - 2,0 , kg) cdot 9,8 , m/s²3,0 , kg + 2,0 , kg + 12 cdot 1,0 , kg ²
a = 1,0 , kg cdot 9,8 , m/s²3,0 + 2,0 + 0,5 ²
a = 9,8 , N5,5 , kg
a approx 1,78 , m/s² ²

Resposta

A aceleração do sistema é aproximadamente ².

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