Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
b) 16 x^2+16 y^2-64 x+8 y+177=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reduzir a equação à forma padrão e descobrir se ela representa uma circunferência. Para resolver isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que nos ajuda a transformar equações quadráticas em uma forma mais fácil de interpretar, especialmente para identificar figuras geométricas como circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação juntando os termos de 16x^2 - 64x + 16y^2 + 8y = -177 e os de :

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes de 16(x^2 - 4x) + 16(y^2 + 12y) = -177 e que são 16:

Passo 4

Em seguida, vamos completar o quadrado para os termos de (-42)^2 = 4 . Para isso, pegamos o coeficiente de 16(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16(y^2 + 12y) = -177 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
16((x - 2)^2 - 4) + 16(y^2 + 12y) = -177
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Fazemos o mesmo para os termos de (122)^2 = (14)^2 = 116 . O coeficiente de 16((x - 2)^2 - 4) + 16(y^2 + 12y + 116 - 116) = -177 é 16((x - 2)^2 - 4) + 16((y + 14)^2 - 116) = -177 :
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Simplificando:

Passo 6

Distribuímos os 16 dentro dos parênteses:
16(x - 2)^2 - 64 + 16(y + 14)^2 - 1 = -177
Somando os termos constantes:
16(x - 2)^2 + 16(y + 14)^2 - 65 = -177

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
16(x - 2)^2 + 16(y + 14)^2 = -177 + 65
16(x - 2)^2 + 16(y + 14)^2 = -112

Passo 8

Dividimos toda a equação por 16 para simplificar:
(x - 2)^2 + (y + 14)^2 = -11216
(x - 2)^2 + (y + 14)^2 = -7

Resposta

A equação reduzida à forma padrão é . Como o raio ao quadrado é negativo ( ), isso não representa uma circunferência.

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