Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que envolve duas funções,
e
. O que precisamos aqui é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores, para resolver o sistema de forma clara e passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de EDOs em forma matricial. Isso facilita bastante a aplicação das técnicas de autovalores e autovetores. Nosso sistema é:
Podemos representar isso como:
onde
e
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores (
) são encontrados resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 5
Agora, juntando tudo, a solução geral do sistema de EDOs é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:
Isso significa que:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Questão 4. Resolva os PVIs:
a.
a.
Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
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