Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que envolve duas funções, e . O que precisamos aqui é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores, para resolver o sistema de forma clara e passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de EDOs em forma matricial. Isso facilita bastante a aplicação das técnicas de autovalores e autovetores. Nosso sistema é:
Podemos representar isso como:
onde
e

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 5

Agora, juntando tudo, a solução geral do sistema de EDOs é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:
Isso significa que:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Questão 4. Resolva os PVIs:
a.
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