Seja a transformação linear dada por .
Dar uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de (denotada por ) e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de transformações lineares, imagem de uma transformação e como encontrar bases utilizando vetores geradores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para encontrar uma base para , precisamos identificar vetores que geram todo esse conjunto e que sejam linearmente independentes.
Passo 3
Vamos expressar de forma matricial. Podemos escrever como uma matriz de tal que:
Assim, .
Passo 4
Para encontrar a imagem de v1 = 1 2 , v2 = 1 -1 , v3 = -1 1 , precisamos descobrir combinações lineares das colunas da matriz . As colunas de são:
Nosso objetivo é verificar quais dessas colunas são linearmente independentes e podem formar uma base para .
Passo 5
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes. Para isso, vemos se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Observamos que:
v3 = -v1 + v2
Isso significa que pode ser obtido a partir de e , então não precisamos dela para a base.
Passo 6
Portanto, as colunas 1 2 , 1 -1 e são suficientes para gerar e são linearmente independentes. Assim, uma base para é:
Resposta
A imagem de 1 2 tem dimensão 2 e uma base para 1 -1 é .