Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y-z, 2 x-y+z).
Dar uma base e a dimensão de Im(F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de (denotada por ) e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de transformações lineares, imagem de uma transformação e como encontrar bases utilizando vetores geradores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para encontrar uma base para , precisamos identificar vetores que geram todo esse conjunto e que sejam linearmente independentes.

Passo 3

Vamos expressar A = 1 & 1 & -1 2 & -1 & 1 de forma matricial. Podemos escrever x y z como uma matriz de tal que:
Assim, .

Passo 4

Para encontrar a imagem de v1 = 1 2 , v2 = 1 -1 , v3 = -1 1 , precisamos descobrir combinações lineares das colunas da matriz . As colunas de são:
Nosso objetivo é verificar quais dessas colunas são linearmente independentes e podem formar uma base para .

Passo 5

Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes. Para isso, vemos se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Observamos que:
v3 = -v1 + v2
Isso significa que pode ser obtido a partir de e , então não precisamos dela para a base.

Passo 6

Portanto, as colunas 1 2 , 1 -1 e são suficientes para gerar e são linearmente independentes. Assim, uma base para é:

Resposta

A imagem de 1 2 tem dimensão 2 e uma base para 1 -1 é .

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Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y-z, 2 x-y+z).
Dar uma base e a dimensão de N(F);
Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
Mostre que F é injetora.
Questão 2 - (2,0): Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
F(1,0,0)=(1,-1,-1), F(0,1,0)=(2,2,3), F(0,0,1)=(3,3,1)
(a) - (1,0): Mostre que F é injetora.
Questão 2 - (2,0): Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
F(1,0,0)=(1,-1,-1), F(0,1,0)=(2,2,3), F(0,0,1)=(3,3,1)
(b) - (1,0) : Mostre que F é um isomorfismo.