Questão 3) Um sistema de geração trifásico, simétrico, conectado em Y a quatro fios, sequência a b c, tensão de linha eficaz 220 V, alimenta uma carga em Y equilibrada, através de uma linha de transmissão cuja impedância série por fase é j 10 Omega e cuja impedância mútua entre as fases é j 7 Omega. Despreze a resistência do neutro e responda:
(b) Considerando o caso desequilibrado, determine como seria calculada a corrente de linha nas três fases caso a carga na fase A seja de j 2 Omega e nas demais fases (B e C) seja de j 1 Omega. Monte o sistema matricial contendo as tensões, impedâncias e correntes

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente calcular as correntes nas três fases de um sistema trifásico que está desequilibrado. Isso significa que as cargas nas fases A, B e C não são as mesmas. A gente vai precisar usar conceitos de sistemas trifásicos, impedâncias e como elas interagem entre si. Para resolver, vamos montar um sistema de equações matricial que relaciona as tensões, impedâncias e correntes em cada fase.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sistema trifásico desequilibrado. Em um sistema equilibrado, todas as fases têm a mesma impedância e, portanto, as correntes são iguais em magnitude e defasadas igualmente. No caso desequilibrado, as impedâncias são diferentes, como na nossa questão, onde a impedância na fase A é e nas fases B e C é . Isso faz com que as correntes em cada fase sejam diferentes.

Passo 3

Agora, vamos identificar as impedâncias do sistema. Temos uma impedância série por fase de e uma impedância mútua entre as fases de . A impedância mútua ocorre porque em sistemas trifásicos, as fases podem influenciar umas às outras devido à proximidade física dos condutores.

Passo 4

Para montar o sistema matricial, vamos considerar as correntes nas três fases como incógnitas , e . As tensões de linha são todas 220 V, mas como estamos trabalhando com um sistema desequilibrado, cada fase terá uma queda de tensão diferente devido às diferentes impedâncias.

Passo 5

Vamos aplicar a Lei de Ohm para cada fase, levando em conta as impedâncias série e mútua. A relação básica é:
Vlinha = IA cdot ZAA + IB cdot ZAB + IC cdot ZAC
E similar para as fases B e C. Aqui, é a impedância da fase A, é a impedância mútua entre A e B, e assim por diante.

Passo 6

Substituindo os valores das impedâncias, temos:
220 = IA cdot (j10 + j2) + IB cdot j7 + IC cdot j7
220 = IB cdot (j10 + j1) + IA cdot j7 + IC cdot j7
220 = IC cdot (j10 + j1) + IA cdot j7 + IB cdot j7
Isso porque para a fase A, e para as fases B e C.

Passo 7

Agora, vamos organizar essas equações em forma matricial. Ficará assim:

[
j12 & j7 & j7 j7 & j11 & j7 j7 & j7 & j11 IA IB IC = 220 220 220


]

Passo 8

Esse sistema matricial relaciona as correntes , e com as tensões e impedâncias das fases. Para resolver esse sistema e encontrar os valores das correntes, a gente pode usar métodos de álgebra linear, como a inversa da matriz ou o método de eliminação de Gauss.

Resposta

A matriz que representa o sistema das correntes nas três fases é:

[
j12 & j7 & j7 j7 & j11 & j7 j7 & j7 & j11 IA IB IC = 220 220 220


]

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