QUESTÃO 1 (Valor 0,75 ponto) - Um objeto de massa desconhecida é liberado no instante t=0, na proximidade da superfície da Terra, e entra em queda livre até atingir o solo. O gráfico da variação da energia cinética do objeto em função do tempo é mostrado na figura abaixo.
b) A partir das informações contidas no gráfico, qual a velocidade com que o objeto é liberado?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa desconhecida que é solto na altura da superfície da Terra e cai livremente até o chão. O gráfico que acompanha a questão mostra como a energia cinética desse objeto varia ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a velocidade inicial com que o objeto foi solto, usando as informações desse gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre energia cinética e como ela se relaciona com a velocidade e o tempo durante a queda livre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética (EC) de um objeto é dada pela fórmula:
EC = 12 m v^2
onde é a massa do objeto e é a velocidade dele. Como a massa é desconhecida, mas o gráfico nos dá a energia cinética em função do tempo, vamos precisar relacionar essa equação com a velocidade do objeto durante a queda livre.

Passo 3

Durante a queda livre, a única força atuando no objeto é a gravidade, que acelera o objeto a uma taxa constante, conhecida como aceleração da gravidade ( v(t) = v0 + g t ), aproximadamente ². A velocidade do objeto em qualquer instante pode ser calculada pela equação:
onde é a velocidade inicial que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da velocidade na fórmula da energia cinética:
EC(t) = 12 m (v0 + g t)^2
Expandindo o quadrado, temos:
EC(t) = 12 m (v0^2 + 2 v0 g t + g^2 t^2)
Isso nos mostra que a energia cinética varia quadraticamente com o tempo, o que provavelmente está refletido no gráfico fornecido.

Passo 5

Para encontrar a velocidade inicial EC(0) = 12 m v0^2 , observamos o valor da energia cinética no instante inicial . Substituindo na equação da energia cinética:
Portanto, o valor da energia cinética no início da queda ( ) nos dá diretamente uma relação com a velocidade inicial.

Passo 6

No gráfico da energia cinética em função do tempo, o valor inicial no eixo vertical (quando v0 = raiz2 cdot EC(0)m ) corresponde a . Se esse valor inicial for identificado no gráfico, basta rearranjar a equação para resolver :
Como a massa é desconhecida, mas estamos interessados apenas na velocidade inicial, assumimos que a relação depende apenas do valor inicial da energia cinética.

Resposta

A velocidade com que o objeto é liberado é igual à raiz quadrada de (duas vezes a energia cinética inicial dividida pela massa), isto é:
v0 = raiz2 cdot EC(0)m

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