QUESTÃO 2 (Valor 0,75 ponto) - Uma partícula de massa m e velocidade inicial v0=v0 ux colide elasticamente com outra partícula, de massa desconhecida, inicialmente em repouso. Após a colisão, a partícula de massa m passa a se movimentar ao longo do eixo O X com uma velocidade de módulo v0 / raiz3. Determine:
a) O módulo e o ângulo que a velocidade da partícula, inicialmente em repouso, faz com o eixo O X após a colisão.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma colisão elástica entre duas partículas, uma com massa e velocidade inicial ao longo do eixo , e outra partícula inicialmente em repouso com massa desconhecida. Após a colisão, a partícula de massa continua se movendo ao longo do eixo com velocidade . Nosso objetivo é determinar o módulo e o ângulo da velocidade da segunda partícula após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar os princípios de conservação da quantidade de movimento e conservação da energia cinética, que são aplicáveis em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Como a colisão ocorre em duas dimensões (o eixo m v0 = m ( v0raiz3 ) + M vM costheta e outro eixo perpendicular), vamos considerar as componentes do momento nas duas direções.
A quantidade de movimento inicial está apenas na direção , já que a segunda partícula está em repouso. Portanto:
Onde:
  • é a massa da segunda partícula,
  • é a velocidade da segunda partícula após a colisão,
  • é o ângulo que faz com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos considerar a direção perpendicular ao eixo 0 = M vM sintheta . Antes da colisão, não há movimento nessa direção, então a quantidade de movimento final também deve ser zero:
vM sintheta = 0
Isso implica que:
O que nos leva a ou . Contudo, como a colisão é elástica e ocorre em 2D, isso sugere que há movimentação na direção , então precisamos revisar nossos passos para incluir a conservação da energia cinética.

Passo 4

Vamos aplicar a conservação da energia cinética na colisão elástica:
12 m v0^2 = 12 m ( v0raiz3 )^2 + 12 M vM^2
Simplificando:
m v0^2 = m ( v0^23 ) + M vM^2
m v0^2 - m v0^23 = M vM^2
2m v0^23 = M vM^2

Passo 5

Agora, voltamos à conservação da quantidade de movimento na direção m v0 = m ( v0raiz3 ) + M vM costheta :
M = 2m v0^23 vM^2
Substituindo m v0 = m ( v0raiz3 ) + 2m v0^23 vM^2 vM costheta a partir da equação da energia cinética:
v0 = v0raiz3 + 2 v0^23 vM costheta
Substituindo na equação da quantidade de movimento:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver para vM^2 = 2m v0^23M :
Da conservação da energia, temos:
costheta = 0
Substituindo na equação anterior e resolvendo para , encontramos que:
Isso significa que , ou seja, a segunda partícula se move perpendicularmente ao eixo .

Passo 7

Finalmente, calculamos o módulo da velocidade vM^2 = 2m v0^23M :
Mas sem o valor de , podemos relacionar as velocidades. A partir da conservação da quantidade de movimento e da energia, concluímos que a segunda partícula se move perpendicularmente ao eixo com velocidade .

Resposta

A velocidade da segunda partícula após a colisão tem módulo e forma um ângulo de com o eixo .

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