Questão: (valor: 2,5 ) - Atira-se uma bala de argila (aderente) de massa mp e velocidade v0 contra um disco homogêneo de massa m, raio R e I=M R^2 / 2 (Figura ao lado). O disco está inicialmente em repouso, montado sobre um eixo fixo, perpendicular ao plano da figura, e que passa pelo seu centro de massa. A linha de movimento do projétil é perpendicular ao eixo e está a uma distância b do centro. Considere os seguintes valores:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma bala de argila com massa e velocidade que atira contra um disco homogêneo com massa , raio e momento de inércia . O disco está parado no início e o eixo passa pelo centro dele. A bala atinge o disco a uma distância do centro. A gente vai precisar usar os conceitos de conservação do momento angular para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a bala atinge o disco. Como a bala fica aderida ao disco após o impacto, isso é uma colisão inelástica. Nessa situação, o momento angular total antes da colisão deve ser igual ao momento angular total depois da colisão.

Passo 3

Vamos calcular o momento angular antes da colisão. Como o disco está inicialmente em repouso, só a bala contribui para o momento angular. O momento angular ( Linicial = mp cdot v0 cdot b ) é dado por:
Aqui, é a massa da bala, é a velocidade dela, e é a distância perpendicular do ponto de impacto ao eixo de rotação.

Passo 4

Depois da colisão, a bala está aderida ao disco, e eles giram juntos com uma velocidade angular Lfinal = I cdot omega + mp cdot b^2 cdot omega . O momento angular final é a soma dos momentos angulares do disco e da bala:
Onde é o momento de inércia do disco, e é o momento de inércia da bala em relação ao eixo de rotação.

Passo 5

Igualamos o momento angular inicial ao final:
mp cdot v0 cdot b = ( m R^22 + mp b^2 ) cdot omega
Agora, vamos resolver para omega = mp cdot v0 cdot bm R^22 + mp b^2 :

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos escrever:
omega = 2 mp v0 bm R^2 + 2 mp b^2

Resposta

A velocidade angular do disco e da bala após a colisão é:
omega = 2 mp v0 bm R^2 + 2 mp b^2

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