Questão:(Valor - 1,0 cada) Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de substituição e identidades trigonométricas básicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando:
. Quando temos potências ímpares ou pares de seno e cosseno, é útil usar uma identidade trig simplificada para facilitar a integração.
Passo 3
Observando que a potência de
é ímpar (3), podemos separar uma
para usar como parte da substituição. Isso nos deixa com:
Passo 4
Agora, usamos a identidade trigonométrica
para substituir
:
Passo 5
Vamos organizar a expressão:
Agora, podemos ver que
pode ser útil para uma substituição.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Podemos distribuir o sinal negativo:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral de
é: