Questão:(Valor - 1,0 cada) Calcule: integral cos ^2(x) sen^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de substituição e identidades trigonométricas básicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando: . Quando temos potências ímpares ou pares de seno e cosseno, é útil usar uma identidade trig simplificada para facilitar a integração.

Passo 3

Observando que a potência de cos^2(x) sin^3(x) = cos^2(x) sin^2(x) cdot sin(x) é ímpar (3), podemos separar uma para usar como parte da substituição. Isso nos deixa com:

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica cos^2(x) (1 - cos^2(x)) cdot sin(x) para substituir :

Passo 5

Vamos organizar a expressão:
( cos^2(x) - cos^4(x) ) sin(x)
Agora, podemos ver que pode ser útil para uma substituição.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral ( u^2 - u^4 ) (-du) = -integral ( u^2 - u^4 ) du
Podemos distribuir o sinal negativo:
-integral u^2 du + integral u^4 du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
-( u^33 ) + ( u^55 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, substituímos - cos^3(x)3 + cos^5(x)5 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de - cos^3(x)3 + cos^5(x)5 + C é:

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