Questão:(Valor - 1,5 cada) Calcule as seguintes integrais: integral d x2 sen^2(x)+3 cos ^2(x)

Passo 1

Vamos calcular a integral . Essa questão envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão usando identidades trigonométricas antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que no denominador temos uma combinação de e sen^2(x). Lembra que a identidade trigonométrica básica é . Vamos usar essa identidade para simplificar o denominador.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador usando a identidade trigonométrica:

Passo 4

Agora, a integral fica mais simples:
integral dx2 + cos^2(x)
Para facilitar a integração, vamos usar outra identidade trigonométrica que relaciona cos^2(x):
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2

Passo 5

Substituindo cos^2(x) na integral:
integral dx2 + 1 + cos(2x)2 = integral dx52 + 12 cos(2x) = 2 integral dx5 + cos(2x)

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Seja u = 2x, então du = 2 dx ou dx = du2. Substituindo na integral:
2 integral dx5 + cos(2x) = 2 cdot 12 integral du5 + cos(u) = integral du5 + cos(u)

Passo 7

Conhecemos uma fórmula de integração para esse tipo de integral:
integral dua + b cos(u) = 2raiza^2 - b^2 tan^-1 ( tan u2 cdot a - braiza^2 - b^2 ) + C
Aqui, a = 5 e b = 1. Calculando raiza^2 - b^2:
raiz5^2 - 1^2 = raiz25 - 1 = raiz24 = 2raiz6

Passo 8

Substituindo na fórmula:
integral du5 + cos(u) = 22raiz6 tan^-1 ( tan u2 cdot 5 - 12raiz6 ) + C = 1raiz6 tan^-1 ( 2raiz6 tan u2 ) + C

Passo 9

Voltando à variável original, u = 2x:
1raiz6 tan^-1 ( 2raiz6 tan(x) ) + C

Resposta

A integral é igual a integral dx2 sen^2(x) + 3 cos^2(x), onde 1raiz6 tan^-1 ( 2raiz6 tan(x) ) + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados