Questão:(Valor - 1,5 cada) Calcule: integral sen^2(k x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de sin^2(kx) , dx. Isso faz parte do cálculo de integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar uma fórmula que ajuda a simplificar integrais de potências de seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula de redução de potência para o seno ao quadrado. A fórmula é:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Essa identidade nos ajuda a transformar a potência do seno em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa integral, substituímos theta por kx:
sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2
Então, nossa integral fica:
integral sin^2(kx) , dx = integral 1 - cos(2kx)2 , dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral 12 , dx - integral cos(2kx)2 , dx
Isso facilita o cálculo, pois agora temos duas integrais mais simples.

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente:
  1. Para integral 12 , dx, a integral é:
12x
  1. Para integral cos(2kx)2 , dx, usamos a regra de integração de cos(ax), que é sin(ax)a:
12 cdot sin(2kx)2k = sin(2kx)4k

Passo 6

Juntando os resultados das duas integrais, temos:
12x - sin(2kx)4k + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de sin^2(kx) , dx é:
x2 - sin(2kx)4k + C

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