Questão: (Valor - 1,0)Dada a função f(x)=integral0^x[integral0^t(u^2+2) d u] d t, calcule f^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função definida por integrais: . Nosso objetivo é calcular a segunda derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivada, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida por uma integral dupla. Vamos resolver a integral interna primeiro. Ou seja, vamos calcular .

Passo 3

Calculando a integral interna:
integral0^t(u^2 + 2) du = integral0^t u^2 du + integral0^t 2 , du
= [u^33]0^t + [2u]0^t = t^33 + 2t

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos de volta na função f(x) = integral0^x ( t^33 + 2t ) dt :

Passo 5

Vamos calcular essa nova integral:
integral0^x t^33 dt + integral0^x 2t , dt = 13 cdot t^44 |0^x + 2 cdot t^22 |0^x
= x^412 + x^2
Portanto, .

Passo 6

Agora vamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx ( x^412 + x^2 ) = 4x^312 + 2x = x^33 + 2x :

Passo 7

Finalmente, calculamos a segunda derivada:
f''(x) = ddx ( x^33 + 2x ) = 3x^23 + 2 = x^2 + 2

Resposta

A segunda derivada de é .

Exercícios relacionados