Questão:(Valor - 2,0) Calcule os a área limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área delimitada pelas curvas
,
,
,
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e como configurar integrais para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma dessas curvas:
-
é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. -
é outra hipérbole, mas nos segundo e quarto quadrantes. -
e são linhas verticais. -
e são linhas horizontais.
Essas curvas juntas formarão uma região fechada da qual queremos calcular a área.
Passo 3
Vamos visualizar as interseções para confirmar os limites da área:
- As curvas
e se cruzam nas linhas , , e . - Portanto, nossos limites de integração serão entre
e , e entre e .
Passo 4
Para encontrar a área, podemos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo definido. Nesse caso, a função superior é
quando
e
quando
. Vamos dividir a área em duas partes simétricas e calcular uma delas, depois multiplicar por 2.
Passo 5
Vamos calcular a integral de
de
a
:
A integral de
é
. Então:
Como
é aproximadamente 1,386, a área é aproximadamente
unidades quadradas.
Resposta
A área limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.
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No mesmo plano cartesiano, utilizando o intervalo
construa o gráfico das funções:
e
.