Questão:(Valor - 2,0) Calcule os a área limitada pelas curvas , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área delimitada pelas curvas , , , , e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e como configurar integrais para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma dessas curvas:
  • é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes.
  • é outra hipérbole, mas nos segundo e quarto quadrantes.
  • e são linhas verticais.
  • e são linhas horizontais.
Essas curvas juntas formarão uma região fechada da qual queremos calcular a área.

Passo 3

Vamos visualizar as interseções para confirmar os limites da área:
  • As curvas e se cruzam nas linhas , , e .
  • Portanto, nossos limites de integração serão entre e , e entre e .

Passo 4

Para encontrar a área, podemos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo definido. Nesse caso, a função superior é quando e quando . Vamos dividir a área em duas partes simétricas e calcular uma delas, depois multiplicar por 2.

Passo 5

Vamos calcular a integral de de a :
Á
A integral de é . Então:
Á
Como é aproximadamente 1,386, a área é aproximadamente unidades quadradas.

Resposta

A área limitada pelas curvas é aproximadamente unidades quadradas.

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