Questão 1)(Valor - 1,5 cada)Determine o que se pede:
a) Uma equação de uma das retas tangentes ao gráfico de f(x) = x^2 + 3x + 2 que passa pelo ponto P(0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma das retas tangentes ao gráfico da função que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas, e geometria analítica para encontrar a reta que toca o gráfico da função exatamente em um ponto e passa pelo ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada nos dá a inclinação da tangente naquele ponto.
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Vamos considerar um ponto genérico no gráfico da função onde a reta será tangente. A inclinação dessa reta tangente é .
Então, a equação da reta tangente nesse ponto pode ser escrita usando a fórmula da equação da reta:
Substituindo e , temos:

Passo 4

Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo ponto . Vamos substituir e na equação da reta para encontrar o valor de .
Substituindo:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de :
Podemos adicionar em ambos os lados para simplificar:
Então, .

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar o ponto de tangência substituindo na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 7

Vamos determinar a equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação :
Usando a fórmula da reta:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto é:

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