Questão 1)(Valor - 1,5 cada)Determine o que se pede:
a) Uma equação de uma das retas tangentes ao gráfico de
que passa pelo ponto
a) Uma equação de uma das retas tangentes ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma das retas tangentes ao gráfico da função
que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas, e geometria analítica para encontrar a reta que toca o gráfico da função exatamente em um ponto e passa pelo ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada nos dá a inclinação da tangente naquele ponto.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Vamos considerar um ponto genérico
no gráfico da função onde a reta será tangente. A inclinação dessa reta tangente é
.
Então, a equação da reta tangente nesse ponto pode ser escrita usando a fórmula da equação da reta:
Substituindo
e
, temos:
Passo 4
Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo ponto
. Vamos substituir
e
na equação da reta para encontrar o valor de
.
Substituindo:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Podemos adicionar
em ambos os lados para simplificar:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar o ponto de tangência substituindo
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Vamos determinar a equação da reta tangente usando o ponto
e a inclinação
:
Usando a fórmula da reta:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto
é: