Questão 2)(Valor - 1,0 cada) Para cada uma das funções seguintes, determine a derivada indicada. OBS: Os resultados só serão considerados com as devidas contas que os justifiquem.
c) , sabendo que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função inversa de avaliada em . A matéria aqui é cálculo, mais especificamente derivadas de funções inversas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções inversas e também como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que queremos a derivada da função inversa de no ponto onde . Uma regra importante aqui é que a derivada da função inversa em um ponto é igual a , onde é tal que . Então, basicamente, vamos precisar achar .

Passo 3

Vamos calcular para entender melhor. A função dada é . Substituindo :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada . A função é uma função exponencial onde a base é 2 e o expoente é . Usamos a regra da derivada de uma função exponencial:
Calculando a derivada do expoente:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Vamos agora avaliar em :
Portanto, .

Passo 6

Finalmente, usamos a regra mencionada no Passo 2 para encontrar :

Resposta

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