Questão 2)(Valor - 1,0 cada) Para cada uma das funções seguintes, determine a derivada indicada. OBS: Os resultados só serão considerados com as devidas contas que os justifiquem.
b) y_P' onde P(1, 2pi), sabendo que x^2 y + sen(y) = 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a derivada no ponto , sabendo que a equação que relaciona e é .
Conteúdo envolvido: Vamos usar derivação implícita, que é quando está definido de forma implícita em relação a numa equação.
O que vamos precisar: Saber como derivar funções básicas e usar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivarmos termos que envolvem , teremos que multiplicar pela derivada de com respeito a , que é .
A equação original é:
Derivando cada termo em relação a :

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Derivada de :
    Usamos a regra do produto:
  2. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia:
  3. Derivada de :
    Como é uma constante, sua derivada é zero:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas que calculamos de volta na equação:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar os termos que contêm .

Passo 5

Vamos agrupar os termos com :
Fatorando do lado esquerdo:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 7

Finalmente, vamos substituir e na expressão para encontrar no ponto :
Simplificando:

Resposta

A derivada no ponto é .

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