Questão 2)(Valor - 1,0 cada) Para cada uma das funções seguintes, determine a derivada indicada. OBS: Os resultados só serão considerados com as devidas contas que os justifiquem.
b)
onde
, sabendo que
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a derivada
no ponto
, sabendo que a equação que relaciona
e
é
.
Conteúdo envolvido: Vamos usar derivação implícita, que é quando
está definido de forma implícita em relação a
numa equação.
O que vamos precisar: Saber como derivar funções básicas e usar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivarmos termos que envolvem
, teremos que multiplicar pela derivada de
com respeito a
, que é
.
A equação original é:
Derivando cada termo em relação a
:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente.
-
Derivada de
:
Usamos a regra do produto: -
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia: -
Derivada de
:
Comoé uma constante, sua derivada é zero:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas que calculamos de volta na equação:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar os termos que contêm
.
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 7
Finalmente, vamos substituir
e
na expressão para encontrar
no ponto
:
Simplificando:
Resposta
A derivada
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Questão 2)(Valor - 1,0 cada) Para cada uma das funções seguintes, determine a derivada indicada. OBS: Os resultados só serão considerados com as devidas contas que os justifiquem.
a) , sendo
e
.
a)
Questão 1)(Valor - 1,5 cada)Determine o que se pede:
b) Uma equação da reta tangente à elipse no ponto
b) Uma equação da reta tangente à elipse
Questão 4 (Valor - 1,0) Calcule o valor de
sabendo que
.
Questão 3)(Valor - 1,0 cada) Usando a Regra de La)