Questão 4 (Valor - 1,0) Calcule o valor de sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos , ou seja, a derivada de em 0. Sabemos que:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando temos uma função composta, como , usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é .
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, nossa equação derivada fica:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos escolher um valor de que nos ajude a isolar essa derivada. Vamos avaliar a equação quando .

Passo 4

Substituindo na equação:
Sabemos que e , então:
Isso simplifica para:

Passo 5

Até aqui, descobrimos que . Mas precisamos de . Para isso, vamos precisar de outra informação ou abordagem. Observe que se considerarmos :
Substituindo na equação original:
Isso não nos dá novas informações. Portanto, precisamos de outra estratégia.

Passo 6

Vamos considerar a expansão em série de Taylor para perto de :
E para perto de :
Agora, substituímos essas aproximações na equação original:
Vamos expandir em torno de 1 e usando a série de Taylor:
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Vamos reorganizar os termos:
Comparando os termos constantes e os coeficientes de e de ambos os lados:
Termos constantes:
Coeficientes de :
Coeficientes de :

Passo 8

Agora, sabemos que e . Para encontrar , precisamos de mais uma condição ou relação. No entanto, com as informações fornecidas, não há uma relação direta que conecte aos valores que já encontramos.
Então, a partir do que foi derivado, não é possível determinar com os dados fornecidos.

Resposta

Com base nas informações fornecidas, não é possível determinar o valor de .

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