Questão 4 (Valor - 1,0) Calcule o valor de
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos
, ou seja, a derivada de
em 0. Sabemos que:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando temos uma função composta, como
, usamos a Regra da Cadeia. A derivada de
é
.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, nossa equação derivada fica:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos escolher um valor de
que nos ajude a isolar essa derivada. Vamos avaliar a equação quando
.
Passo 4
Substituindo
na equação:
Sabemos que
e
, então:
Isso simplifica para:
Passo 5
Até aqui, descobrimos que
. Mas precisamos de
. Para isso, vamos precisar de outra informação ou abordagem. Observe que se considerarmos
:
Substituindo na equação original:
Isso não nos dá novas informações. Portanto, precisamos de outra estratégia.
Passo 6
Vamos considerar a expansão em série de Taylor para
perto de
:
E para
perto de
:
Agora, substituímos essas aproximações na equação original:
Vamos expandir
em torno de 1 e
usando a série de Taylor:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos:
Comparando os termos constantes e os coeficientes de
e
de ambos os lados:
Termos constantes:
Coeficientes de
:
Coeficientes de
:
Passo 8
Agora, sabemos que
e
. Para encontrar
, precisamos de mais uma condição ou relação. No entanto, com as informações fornecidas, não há uma relação direta que conecte
aos valores que já encontramos.
Então, a partir do que foi derivado, não é possível determinar
com os dados fornecidos.
Resposta
Com base nas informações fornecidas, não é possível determinar o valor de
.
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b) onde
, sabendo que
.
b)
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a) , sendo
e
.
a)
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