• (Valor: 2,5) Dois blocos de massas m1=1,8 kg e m2=3,5 kg, deslizam para baixo sobre um plano inclinado, conectadas por um bastão de massa desprezível com m1 seguindo m2. O ângulo de inclinação é theta=30^circ. Q coeficiente de atrito entre m1 e o plano é mu 1=0,25 e entre m2 e o plano é mu 2=0,15. Calcule:
    (a) (1,5 pts) A aceleração conjunta das duas massas;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve dois blocos deslizando por um plano inclinado. As massas são m1=1,8 , kg e m2=3,5 , kg. O ângulo do plano é theta=30^circ. Precisamos calcular a aceleração conjunta dos dois blocos. Para isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica, especialmente a segunda lei de Newton aplicada a sistemas com forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, identificamos as forças agindo em cada bloco. Para cada massa, temos:
  1. Peso: A força da gravidade, que pode ser decomposta em duas componentes:
    • Paralela ao plano: Pparal<=l = m cdot g cdot sin(theta)
    • Perpendicular ao plano: Pperp = m cdot g cdot cos(theta)
  2. Força de atrito: Contrária ao movimento, calculada por f = mu cdot N, onde N é a força normal (igual a Pperp).
  3. Tensão: A força que conecta os dois blocos, que será a mesma para ambos devido à conexão rígida.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton para cada bloco:
Para o bloco m1:
m1 cdot a = m1 cdot g cdot sin(theta) - f1 - T
Para o bloco m2:
m2 cdot a = m2 cdot g cdot sin(theta) - f2 + T
Onde:
  • a é a aceleração conjunta.
  • f1 = mu1 cdot m1 cdot g cdot cos(theta)
  • f2 = mu2 cdot m2 cdot g cdot cos(theta)

Passo 4

Somando as duas equações para eliminar a tensão T:
m1 cdot a + m2 cdot a = (m1 + m2) cdot g cdot sin(theta) - f1 - f2
Fatorando a:
a cdot (m1 + m2) = (m1 + m2) cdot g cdot sin(theta) - mu1 cdot m1 cdot g cdot cos(theta) - mu2 cdot m2 cdot g cdot cos(theta)

Passo 5

Isolando a:
a = (m1 + m2) cdot g cdot sin(theta) - mu1 cdot m1 cdot g cdot cos(theta) - mu2 cdot m2 cdot g cdot cos(theta)m1 + m2
Vamos simplificar a expressão:
a = g cdot ( sin(theta) - mu1 cdot m1 cdot cos(theta) + mu2 cdot m2 cdot cos(theta)m1 + m2 )

Passo 6

Agora, substituímos os valores numéricos:
  • m1 = 1,8 , kg
  • m2 = 3,5 , kg
  • theta = 30^circ
  • mu1 = 0,25
  • mu2 = 0,15
  • g = 9,8 , m/s^2
Calculando cada parte:
  1. sin(30^circ) = 0,5
  2. cos(30^circ) approx 0,8660
  3. mu1 cdot m1 cdot cos(theta) = 0,25 cdot 1,8 cdot 0,8660 approx 0,39075
  4. mu2 cdot m2 cdot cos(theta) = 0,15 cdot 3,5 cdot 0,8660 approx 0,45465
  5. m1 + m2 = 1,8 + 3,5 = 5,3 , kg

Passo 7

Substituindo os valores na equação da aceleração:
a = 9,8 cdot ( 0,5 - 0,39075 + 0,454655,3 )
Calculando o denominador:
0,39075 + 0,454655,3 = 0,84545,3 approx 0,1594
Então:
a = 9,8 cdot (0,5 - 0,1594) = 9,8 cdot 0,3406 approx 3,34 , m/s^2

Resposta

A aceleração conjunta das duas massas é aproximadamente 3,34 , m/s^2.

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