Questão 5) (Valor: 4,0 pontos) Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, temos que esboçar o gráfico da função
. Vamos trabalhar com funções polinomiais, que são funções formadas por termos de potências inteiras de
. Para esboçar o gráfico, precisamos identificar características como interceptos, pontos críticos, comportamento para
indo ao infinito e simetrias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o intercepto y, que é o ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Para isso, substituímos
na função:
Então, o intercepto y é
.
Passo 3
Agora, vamos achar os interceptos x, ou seja, os valores de
que tornam
:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os interceptos x são
,
e
.
Passo 4
Vamos determinar o comportamento da função para
muito grande e muito pequeno (
). Como o termo de maior grau é
, para
positivo e negativo grandes, o valor de
tende a
. Isso indica que as extremidades do gráfico vão para baixo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são onde a derivada
é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
As soluções são:
Então, os pontos críticos estão em
,
e
.
Passo 6
Vamos determinar se esses pontos críticos são pontos de máximo ou mínimo usando a segunda derivada ou o teste da primeira derivada. Vamos utilizar a segunda derivada:
Analisando em cada ponto crítico:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então,
são pontos de máximo e
é um ponto de mínimo.
Passo 7
Vamos encontrar as ordenadas desses pontos críticos substituindo
na função original:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 8
Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Intercepto y:
- Interceptos x:
, , - Pontos de máximo:
- Ponto de mínimo:
- Comportamento:
quando
Resposta
Com base nas análises, o esboço do gráfico da função
apresenta dois máximos locais em
, um mínimo em
, interceptos nos pontos
,
e
, e as extremidades do gráfico tendem para
conforme
se afasta do centro. O gráfico tem simetria em relação ao eixo y.
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Questão 2) (Valor: 1,0 ponto) Calcule
.
a)
a)
Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
a)
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Determine a derivada das funções dada.
Determine a derivada das funções dada.