Questão 5) (Valor: 4,0 pontos) Esboce o gráfico da função

Passo 1

Beleza, temos que esboçar o gráfico da função . Vamos trabalhar com funções polinomiais, que são funções formadas por termos de potências inteiras de . Para esboçar o gráfico, precisamos identificar características como interceptos, pontos críticos, comportamento para indo ao infinito e simetrias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intercepto y, que é o ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Para isso, substituímos na função:
Então, o intercepto y é .

Passo 3

Agora, vamos achar os interceptos x, ou seja, os valores de que tornam :
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os interceptos x são , e .

Passo 4

Vamos determinar o comportamento da função para muito grande e muito pequeno ( ). Como o termo de maior grau é , para positivo e negativo grandes, o valor de tende a . Isso indica que as extremidades do gráfico vão para baixo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são onde a derivada é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
As soluções são:
Então, os pontos críticos estão em , e .

Passo 6

Vamos determinar se esses pontos críticos são pontos de máximo ou mínimo usando a segunda derivada ou o teste da primeira derivada. Vamos utilizar a segunda derivada:
Analisando em cada ponto crítico:
  • Para :
    í
  • Para :
    á
  • Para :
    á
Então, são pontos de máximo e é um ponto de mínimo.

Passo 7

Vamos encontrar as ordenadas desses pontos críticos substituindo na função original:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 8

Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Intercepto y:
  • Interceptos x: , ,
  • Pontos de máximo:
  • Ponto de mínimo:
  • Comportamento: quando

Resposta

Com base nas análises, o esboço do gráfico da função apresenta dois máximos locais em , um mínimo em , interceptos nos pontos , e , e as extremidades do gráfico tendem para conforme se afasta do centro. O gráfico tem simetria em relação ao eixo y.

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a)
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a)
Determine a derivada das funções dada.
Determine a derivada das funções dada.