QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: f(x) = x^3 - 4x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, os pontos de inflexão, e os máximos e mínimos locais da função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda. As derivadas vão nos ajudar a entender onde a função está subindo ou descendo, sua concavidade e onde ela atinge valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de , que nos diz a taxa de variação da função. A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada primeira é zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo . Vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada primeira em cada intervalo definido pelos pontos críticos para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para : Escolha
  • Para : Escolha
  • Para : Escolha

Passo 5

Agora, vamos encontrar os máximos e mínimos locais usando a derivada primeira:
  • Em : A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em : A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Passo 6

Vamos agora calcular a derivada segunda de , que nos ajuda a analisar a concavidade da função e encontrar pontos de inflexão.

Passo 7

Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a derivada segunda a zero:
Vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por :
  • Para :
  • Para :
Isso confirma que há um ponto de inflexão em .

Passo 8

Resumindo todas as informações:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Máximo local: Em
  • Mínimo local: Em
  • Concavidade: Para baixo em e para cima em
  • Ponto de inflexão: Em

Resposta

A função cresce nos intervalos e , e decresce no intervalo . Possui um máximo local em e um mínimo local em . A concavidade da função é para baixo quando e para cima quando . Há um ponto de inflexão em .

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