QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, os pontos de inflexão, e os máximos e mínimos locais da função
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda. As derivadas vão nos ajudar a entender onde a função está subindo ou descendo, sua concavidade e onde ela atinge valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
, que nos diz a taxa de variação da função. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada primeira é zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo
. Vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada primeira em cada intervalo definido pelos pontos críticos para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
: Escolha -
Para
: Escolha -
Para
: Escolha
Passo 5
Agora, vamos encontrar os máximos e mínimos locais usando a derivada primeira:
-
Em
: A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. -
Em
: A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 6
Vamos agora calcular a derivada segunda de
, que nos ajuda a analisar a concavidade da função e encontrar pontos de inflexão.
Passo 7
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a derivada segunda a zero:
Vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por
:
-
Para
: -
Para
:
Isso confirma que há um ponto de inflexão em
.
Passo 8
Resumindo todas as informações:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Máximo local: Em
- Mínimo local: Em
- Concavidade: Para baixo em
e para cima em - Ponto de inflexão: Em
Resposta
A função
cresce nos intervalos
e
, e decresce no intervalo
. Possui um máximo local em
e um mínimo local em
. A concavidade da função é para baixo quando
e para cima quando
. Há um ponto de inflexão em
.