QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo juntos! A gente precisa analisar a função
para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira derivada nos ajuda a ver se a função está aumentando ou diminuindo e a segunda derivada nos mostra a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Usamos a regra do quociente, que diz que se
, então
.
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a primeira derivada é zero ou não existe. A derivada
existe para todo
, então só precisamos resolver
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos analisar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a primeira derivada:
- Para
: escolhido , Então, a função está crescendo nesse intervalo. - Para
: escolhido , Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
Assim,
cresce em
e decresce em
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para determinar a concavidade e os pontos de inflexão. Derivamos
:
Usando a regra do quociente novamente:
Passo 6
Vamos analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão:
- A concavidade muda onde
:
- Para
, por exemplo , Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo. - Para
, por exemplo , Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
cresce no intervalo
e decresce em
. Possui um máximo local em
. Quanto à concavidade, a função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
, com um ponto de inflexão em
.