QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo juntos! A gente precisa analisar a função para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira derivada nos ajuda a ver se a função está aumentando ou diminuindo e a segunda derivada nos mostra a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Usamos a regra do quociente, que diz que se , então .
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a primeira derivada é zero ou não existe. A derivada existe para todo , então só precisamos resolver :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos analisar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a primeira derivada:
  • Para : escolhido , Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para : escolhido , Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
Assim, cresce em e decresce em .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para determinar a concavidade e os pontos de inflexão. Derivamos :
Usando a regra do quociente novamente:

Passo 6

Vamos analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão:
  • A concavidade muda onde :
  • Para , por exemplo , Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para , por exemplo , Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Resposta

A função cresce no intervalo e decresce em . Possui um máximo local em . Quanto à concavidade, a função é côncava para baixo em e côncava para cima em , com um ponto de inflexão em .

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