Usando a definição de derivada de uma função, encontre
para
.
Passo 1
Beleza, temos a função
e queremos descobrir a sua derivada
usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar conceitos de limites e um pouquinho de álgebra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular a variação da função quando damos um passinho
em
e ver o que acontece quando esse passinho fica muito, muito pequeno (tende a zero).
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
por
na função original:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 5
Para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será
. Então, reescrevemos as frações com esse denominador:
Passo 6
Vamos expandir os termos no numerador:
Passo 7
Subtraindo esses dois resultados:
Então, o numerador simplifica para
.
Passo 8
Agora, colocamos isso de volta na expressão da derivada:
Perceba que o
no numerador e denominador cancela.
Passo 9
Finalmente, quando
tende a 0, a expressão fica:
Resposta
A derivada da função
é: