Usando a definição de derivada de uma função, encontre
para
.
Passo 1
Beleza, temos a função
e queremos descobrir a sua derivada
usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar conceitos de limites e um pouquinho de álgebra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular a variação da função quando damos um passinho
em
e ver o que acontece quando esse passinho fica muito, muito pequeno (tende a zero).
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
por
na função original:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 5
Para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será
. Então, reescrevemos as frações com esse denominador:
Passo 6
Vamos expandir os termos no numerador:
Passo 7
Subtraindo esses dois resultados:
Então, o numerador simplifica para
.
Passo 8
Agora, colocamos isso de volta na expressão da derivada:
Perceba que o
no numerador e denominador cancela.
Passo 9
Finalmente, quando
tende a 0, a expressão fica:
Resposta
A derivada da função
é:
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<html><head></head><body><div>QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.805ex” height=“3.167ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 5217.9 1399.9”><title>f(x) = ln(x) / x</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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</body></html>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.805ex” height=“3.167ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 5217.9 1399.9”><title>f(x) = ln(x) / x</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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<html><head></head><body><div>QUESTÃO: verifique os intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e máximos e mínimos locais, das funções abaixo: <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.817ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 8759 1083.9”><title>f(x) = 5 x^2 + 6 x - 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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