Usando a definição de derivada de uma função, encontre f'(x) para f(x) = (x - 2) / (x + 3).

Passo 1

Beleza, temos a função e queremos descobrir a sua derivada usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar conceitos de limites e um pouquinho de álgebra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular a variação da função quando damos um passinho em e ver o que acontece quando esse passinho fica muito, muito pequeno (tende a zero).

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo por na função original:

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença :

Passo 5

Para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum será . Então, reescrevemos as frações com esse denominador:

Passo 6

Vamos expandir os termos no numerador:

Passo 7

Subtraindo esses dois resultados:
Então, o numerador simplifica para .

Passo 8

Agora, colocamos isso de volta na expressão da derivada:
Perceba que o no numerador e denominador cancela.

Passo 9

Finalmente, quando tende a 0, a expressão fica:

Resposta

A derivada da função é:

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