Sendo f(x) = e^(x/2), calcule f^(n).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a -ésima derivada da função . Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como derivadas funcionam e como aplicá-las repetidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar como derivar uma função exponencial básica. Sabemos que a derivada de em relação a é , onde é uma constante. Isso porque, ao derivar, a constante sai multiplicando a função original.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Aqui, . Então, a primeira derivada de será:

Passo 4

Agora, para encontrar a segunda derivada, derivamos novamente:

Passo 5

Observando o padrão, cada vez que derivamos, multiplicamos por . Portanto, após derivações, teremos multiplicado por .

Passo 6

Assim, a -ésima derivada de será:

Resposta

A -ésima derivada de é:

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