Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que é , onde o contorno é um círculo com centro em 5 e raio 2, ou seja, . Vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente o teorema dos resíduos, para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração para identificar os polos da função. O denominador é .
Então, os polos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno . O contorno é , que é um círculo com centro em 5 e raio 2.
Calculando a distância de cada polo até o centro do círculo:
  • Para : que é menor que 2, então está dentro.
  • Para : que é maior que 2, então está fora.
Portanto, apenas o polo está dentro do contorno.

Passo 4

Agora que sabemos que apenas está dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função em .
O resíduo em um polo simples é dado por:
Aplicando isso para :

Passo 5

Com o resíduo encontrado, aplicamos o teorema dos resíduos que diz que a integral de contorno é igual a vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.
Como só temos um resíduo, temos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Seja definido ao longo do arco em que , indo de até e de uma reta que vai de até . Calcule a integral . Justifique sua resposta
Calcule todos os valores de que satisfazem a expressão:
  1. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
    y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
    h(t)=
    \end{aligned}
$$