Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que é
, onde o contorno
é um círculo com centro em 5 e raio 2, ou seja,
. Vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente o teorema dos resíduos, para calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração para identificar os polos da função. O denominador é
.
Então, os polos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno
. O contorno é
, que é um círculo com centro em 5 e raio 2.
Calculando a distância de cada polo até o centro do círculo:
- Para
: que é menor que 2, então está dentro. - Para
: que é maior que 2, então está fora.
Portanto, apenas o polo
está dentro do contorno.
Passo 4
Agora que sabemos que apenas
está dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função
em
.
O resíduo em um polo simples
é dado por:
Aplicando isso para
:
Passo 5
Com o resíduo encontrado, aplicamos o teorema dos resíduos que diz que a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.
Como só temos um resíduo, temos:
Resposta
A integral é igual a
.