Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
ointC -3 z+2z^2-8 z+12 d z ;: |z-5|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que é , onde o contorno é um círculo com centro em 5 e raio 2, ou seja, . Vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente o teorema dos resíduos, para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração para identificar os polos da função. O denominador é z^2 - 8 z + 12 = (z - 6)(z - 2) .
Então, os polos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno . O contorno é , que é um círculo com centro em 5 e raio 2.
Calculando a distância de cada polo até o centro do círculo:
  • Para : que é menor que 2, então está dentro.
  • Para : que é maior que 2, então está fora.
Portanto, apenas o polo está dentro do contorno.

Passo 4

Agora que sabemos que apenas Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z) está dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função Res(-3 z + 2(z - 6)(z - 2), 6) = limz to 6 -3 z + 2z - 2 = -3(6) + 26 - 2 = -18 + 24 = -164 = -4 em .
O resíduo em um polo simples é dado por:
Aplicando isso para :

Passo 5

Com o resíduo encontrado, aplicamos o teorema dos resíduos que diz que a integral de contorno é igual a ointC -3 z + 2z^2 - 8 z + 12 dz = 2pi i times (-4) = -8pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.
Como só temos um resíduo, temos:

Resposta

A integral é igual a .

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