Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que é
, onde o contorno
é um círculo com centro em 5 e raio 2, ou seja,
. Vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente o teorema dos resíduos, para calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração para identificar os polos da função. O denominador é
.
Então, os polos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno
. O contorno é
, que é um círculo com centro em 5 e raio 2.
Calculando a distância de cada polo até o centro do círculo:
- Para
: que é menor que 2, então está dentro. - Para
: que é maior que 2, então está fora.
Portanto, apenas o polo
está dentro do contorno.
Passo 4
Agora que sabemos que apenas
está dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função
em
.
O resíduo em um polo simples
é dado por:
Aplicando isso para
:
Passo 5
Com o resíduo encontrado, aplicamos o teorema dos resíduos que diz que a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.
Como só temos um resíduo, temos:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Seja
definido ao longo do arco em que
, indo de
até
e de uma reta que vai de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
- $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
h(t)=
\end{aligned}
$$