Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
para descobrir seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda. Vamos precisar calcular essas derivadas e interpretar os resultados para cada parte do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a encontrar os pontos críticos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada primeira de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a derivada primeira é zero ou não existe. Nossa derivada é
. Vamos igualar a zero:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira
.
-
Para
, por exemplo : -
Para
, por exemplo : -
Para
, por exemplo :
Então, a função é:
- Decrescente em
e - Crescente em
Passo 5
Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando os pontos críticos encontrados.
-
No ponto
: - Antes de 0, a função é decrescente.
- Depois de 0, a função é crescente.
- Isso indica que
é um mínimo local.
-
No ponto
: - Antes de 2, a função é crescente.
- Depois de 2, a função é decrescente.
- Isso indica que
é um máximo local.
Vamos calcular as coordenadas desses pontos substituindo
na função original:
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada segunda da função, que nos ajuda a analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 7
Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo analisando o sinal da derivada segunda
.
-
Para
(côncava para cima): -
Para
(côncava para baixo):
Então, a função é:
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
Passo 8
Vamos identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Isso ocorre onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde
.
Vamos calcular a coordenada
quando
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos fazer um esboço do gráfico:
- A função tem um mínimo local em
e um máximo local em . - É decrescente antes de
, crescente entre e , e decrescente após . - É côncava para cima até
e côncava para baixo depois de . - Há um ponto de inflexão em
.
Esses pontos e comportamentos nos ajudam a desenhar o gráfico da função.
Resposta
A função
possui:
a) Pontos Críticos em
e
.
b) Intervalos de Crescimento em
e Decrescimento em
e
.
c) Máximo Local em
e Mínimo Local em
.
d) Concavidade para cima em
e para baixo em
.
e) Ponto de Inflexão em
.
f) O esboço do gráfico reflete esses pontos e comportamentos, mostrando a curva subindo e descendo conforme os intervalos determinados, com as concavidades e inflexão indicadas.
Exercícios relacionados
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
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e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
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d) Concavidade;
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f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
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d) Concavidade;
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
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c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;