Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = -2 x^3 + 6 x^2 - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função para descobrir seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda. Vamos precisar calcular essas derivadas e interpretar os resultados para cada parte do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a encontrar os pontos críticos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada primeira de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de onde a derivada primeira é zero ou não existe. Nossa derivada é . Vamos igualar a zero:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira .
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :
Então, a função é:
  • Decrescente em e
  • Crescente em

Passo 5

Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando os pontos críticos encontrados.
  • No ponto :
    • Antes de 0, a função é decrescente.
    • Depois de 0, a função é crescente.
    • Isso indica que é um mínimo local.
  • No ponto :
    • Antes de 2, a função é crescente.
    • Depois de 2, a função é decrescente.
    • Isso indica que é um máximo local.
Vamos calcular as coordenadas desses pontos substituindo na função original:
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Então, o ponto é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda da função, que nos ajuda a analisar a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 7

Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo analisando o sinal da derivada segunda .
  • Para (côncava para cima):
  • Para (côncava para baixo):
Então, a função é:
  • Côncava para cima em
  • Côncava para baixo em

Passo 8

Vamos identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Isso ocorre onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde .
Vamos calcular a coordenada quando :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 9

Com todas essas informações, podemos fazer um esboço do gráfico:
  • A função tem um mínimo local em e um máximo local em .
  • É decrescente antes de , crescente entre e , e decrescente após .
  • É côncava para cima até e côncava para baixo depois de .
  • Há um ponto de inflexão em .
Esses pontos e comportamentos nos ajudam a desenhar o gráfico da função.

Resposta

A função possui:
a) Pontos Críticos em e .
b) Intervalos de Crescimento em e Decrescimento em e .
c) Máximo Local em e Mínimo Local em .
d) Concavidade para cima em e para baixo em .
e) Ponto de Inflexão em .
f) O esboço do gráfico reflete esses pontos e comportamentos, mostrando a curva subindo e descendo conforme os intervalos determinados, com as concavidades e inflexão indicadas.

Exercícios relacionados

Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(3) x - 2 cos(x), 0 <= x <= 2 pi
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = x^2 - 4x + 3
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = cos(x) sen(x), 0 <= x <= pi
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (2*x^2 + x - 1) / (x^2 - 1)